9.18闲话
勿忘国耻。
今天返校了😓
早晨 5 点 50 起的,困死了。赶的火车来的,到机房已经 9 点了。因此模拟赛摆了。T1 火车上就切了。T2 火车上也切了。T3 不会,T4 看上去不太可做。只肝 T3 没干出来。最终 \(100+30+0+20=150pts\),rk7。
上面都是赛时想法。下面是赛后:
什么几把逆天题目啊我草,这是我这辈子见过除了 9.15 那次比赛外最逆天的比赛之一了。T1 考 whk 是吧,我初三做了他妈一堆这题了,T2 造数据人不会造数据可以不造,连个区间不重叠都造不出来也真是难绷。T3 什么逆天 spj 啊,一个概率期望还带取模的用你妈的 spj,搬错 spj 了就直说。T4 没啥好说的,还行。
突然感觉去掉日常聊天逆天记录会不会不太好呢。
但是有好玩的东西时大概率也还是会分享出来吧。
最近虫子好多,原来潘队葡萄忘封口了😥😥😥,还是搞了搞卫生/qd
在家真舒服,昨天闲话忘写了,ptt+0.01 喽。AC 真好嫖 ptt🥰🥰🥰,但是被色号、蛋挞、绿魔王暴打了😨😨😨
在家还把洞、璋的 E 难度通了😋😋😋,舒服。
园神,琦洞!
东方兽王园 东方神灵庙 东方心绮楼 东方虹龙洞
有人能再推点歌吗啊啊啊
今天模拟赛 T3 题解捏。
我们先把问题转化为求所有序列的可以获得个数之和 \(ans\),那么答案即为 \(\frac{ans}{A^n}\)。
我们考虑求出 \(ans\)。我们要求的是对于所有序列,它所能选的牌数之和。我们转化为对于所有牌数 \(d\),选的牌数为 \(d\) 的序列乘上 \(d\) 之和。
设 \(g_{i, j, k}\) 为 \(i\) 个数,且这 \(i\) 个数都不超过 \(j\),并且它们的和小于等于 \(k\) 的方案数。我们考虑我们把序列排序之后的样子:
我们枚举图中的 \(i, j, k, t\),然后再让它们插入到序列中,我们就能得到下面的式子:
而这里没有乘以牌数的原因是因为:我们会在每一个放置新数的位置都对这个序列记一次数,也就达到了上面乘以牌数的效果。
而对于 \(g_{i, j, k}\) 的求法,我们可以用二项式反演来求:
简单地说,我们要求的简化版为下面这个式子:
设 \(f_j\) 为恰好 \(j\) 个条件不满足,\(g_j\) 至少 \(j\) 个不满足,二项式反演可得:
先从 \(n\) 个限制选 \(j\) 个不满足,让这 \(j\) 个变为 \(x_i>r\)。然后再减去这 \(j\times r\),变为 \(x_i>0\)。因为 \(x_i>0\),所以直接变为 \(k-r\times j\) 个小球放 \(n\) 个盒子,盒子非空的模型:
因此 \(f_i=\sum _{j=i}^n(-1)^{j-i}\dbinom{j}{i}\dbinom{n}{j}\dbinom{k-r\times j-1}{n-1}\),\(f_0=\sum _{j=0}^n(-1)^{j}\dbinom{n}{j}\dbinom{k-r\times j-1}{n-1}\)
而要求的 \(g_{n, r, x}\) 为和小于等于 \(x\) 的方案数,可以在前面再加个 \(\sum\)。
由于 \(\sum _{i=0}^n\dbinom{i}{m}=\dbinom{n+1}{m+1}\),所以 \(g_{n, r, x}=\sum _{j=0}^n(-1)^{j}\dbinom{n}{j}\dbinom{x-r\times j}{n}\)。
这样我们就求出来了 \(g\)。
前面那一坨为 \(0\) 时可以跳过,那么复杂度可能是 \(O(n^2m\log m)\) 的,我也不会算。
我不知道我为什么要写这么详细(,可能我看到的绝大多数题解都说根据容斥就能算出这个 \(g\),但是我总感觉一句容斥考场上用的时候真的会心慌/qd,所以我还是觉得二项式反演比较可依靠。
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