闲话8.12

今天打了一场模拟赛，很爽啊（赞赏🤣🤣

上来 “为了防止很快 AK，加了两道题”，直接 4 个小时 6 道数学题哈哈😅😅😅。上来开题 T0-T4 全不会，T2 是个原但是我没写😅，T0 写了个 \(O(n^4)\) 的 dp，T3 写了个链的情况，然后就开摆了。T0.5 是个组合数学，但是看都没看🥰🥰🥰，T4 据 👂🐉 说他们做过，然后爽睡 2h，舒服🥰🥰🥰。这不比别人刚一上午赢麻了😄😄😄

最终得分：\(20+0+0+20+0+0+\mathbf{睡俩小时}=\mathbf{赢麻了}\)

下午由于上午睡得很香，中午睡得也很香，下午整整听了半个下午的课🥰🥰🥰，到了单位根反演之后开摆了😴。喜摆半个下午🥰🥰🥰

晚上觉得还是不能颓，于是写了写今天考试的 T4，发现挺有意思的。

下午 jimmy 发的东西：

笑死了，哪家正式比赛 4h 做 6 道数学题，还带多项式科技和杜教筛的啊😨😨😨

晚上让 lbx 点了杯奶茶，好喝🥰🥰

计划生也都回那个（九九八二四四三五三-九九八二四四三五一）（某方向词）了。回去又得见到床单了😤😤😤

我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊 我他妈想去 tho 啊啊啊

Tibrella：河北有一个超棒的东方线下聚会tho，你猜谁没有收到邀请

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推歌：聖徳伝説　～　True Administrator -上海アリス幻樂団

丰聪耳神子的主题曲。 　

无人不知无人不晓的历史伟人就是这个角色的原型。 　

曲子方面，我觉得不做得又强劲又帅气会很失礼所以就变成这种感觉。 　

最近突然开始被人们认为是个架空的人物，既然如此那我就请他搬家来到幻想乡中了。神明保佑啊ー

↑以上为 ZUN 语

你说得对，但是我神灵庙 E 难度疮到四面，但是这掩盖不了神子歌好听的事实。

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P4260

有意思的组合数学题。

首先题目中的 P 就是纯扯淡，最终求个总得分除去总方案数就行了。我们可以把整个输赢序列看作在二维平面上走，输则往上走，赢则往下走。这样总的方案数即为 \(\dbinom{n+m}{n}\)。

我们考虑总得分如何计算。我们先假设没有减到 \(0\) 则不减少的机制，把整场比赛的分数情况画出来，应该是这样的：

但是我们有了保护机制，因此折线应该是这样的：

最终得分会增加遇到的最低的线，转化到上面的那个网格图中即为：一条折线与 \(y=x+b\) 从上面最先接触，那么该折线的得分会增加 \(b\)。而我们通过容斥可以得到：和 \(y=x+b\) 从上面最先接触的折线的数量为穿过 \(y=x+b-1\) 且不穿过 \(y=x+b\) 的折线数量，这两个都能用卡特兰数类似的方法对称得出。因此和 \(y=x+b\) 从上面最先接触的折线的数量为：\(\dbinom{n+m}{n+b-1} - \dbinom{n+m}{n+b}\)

这样我们就能列出下面的式子：

\[\begin{aligned} ans & = \sum \limits_{i = 0}^{m} \left ( \dbinom{n+m}{n+i}-\dbinom{n+m}{n+i+1} \right )(n-m+i)\\ &=(n-m)\dbinom{n+m}{n}+\sum \limits_{i=0}^{m-1}\dbinom{n+m}{i} \end{aligned} \]

这里我们只考虑了 \(n\ge m\) 的情况，对于 \(n<m\) 的情况也能同理推出类似的式子。现在我们只需要维护后面这个玩意：\(\sum \limits_{i=0}^{m-1}\dbinom{n+m}{i}\)。

我们这里可以考虑莫队，我们设 \(f(l, r)=\sum \limits_{i=0}^{r}\dbinom{l}{i}\)，我们可以发现 \(l, r\) 扩展都是 \(O(1)\) 的，因此我们就可以把所有询问离线下来，进行莫队统一处理。

因此时间复杂度 \(O(n\sqrt n)\)。

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今天没拍到什么恋恋的图，放张之前拍的吧。