闲话8.7

昨晚管神讲太晚了所以咕到8.8来写了

上午博弈论和杂题，依旧听不懂🥰，离线了一个上午，下午又赫了一个下午，收获满满捏😋

同时破 1000AC 了，为此 whr 特地发私信庆祝：

晚上管神讲组合数学、GF 和群论，真抽象捏，再次离线喽🥰。反正明天都放假了，直接开摆！

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推歌部分：

Lost Emotion feat. nomico - Masayoshi Minoshima/のみこ

秦心的歌也好好听😋😋而且被sb616收录了😡😡

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P3687

我们考虑如果原图本身就不是一颗仙人掌，那无论如何都不可能是仙人掌。而如果原图中有环，那么这个环也不能被加入的边覆盖到，因为这样就不满足每个边只在一个简单环中的要求了。

因此整张图就被这些环分成了一堆部分，每个部分都是一颗树，并且每部分分开计算，因此我们就可以只考虑树的情况。

由于仙人掌中的割边不利于我们dp，我们强制让割边都连一条重边，这样就好dp了。我们设 $f_i$ 为子树内加边的方案，$g_i$ 为往上扩展一条边的方案。为了方便转移，再设 $h_i$ 为有 $i$ 个儿子时子树内连边的方案数。

首先 $h_i$ 的递推式很容易计算，我们只需考虑最后一条边是和父亲连还是子树内再找一个来配对，因此

$$h_i=h_{i-1}+(i-1)h_{i-2}$$

我们再考虑 $f$ 和 $g$ 的转移方程。

我们记 $ch$ 为儿子的个数，每个子节点向上连边是独立的，而这些子节点又是可以互相连边的，因此 $f$ 的方程为：

$$f_u=h_{ch}\times \prod _{v\in so{n}_u}{g}_v$$

再考虑 $g$ 的方程，首先 $u$ 本身可以直接向上扩展，或者是从子节点中选出一个点向上扩展，这时剩下的点其实也不影响，也可以向上扩展到 $u$，或者内部自己连边，因此转移方程为：

$$g_u=f_u+h_{ch-1}\times ch\times \prod _{v\in so{n}_u}{g}_v$$

时间复杂度 $O(n)$。

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偷看姐姐图片的恋恋