多项式计数相关
放假太闲了,也没啥游戏可玩,于是学学科技
前言
本博客直接嗯看的话一开始跨度会比较大,因此不建议没有了解过以下内容的人观看。
- 多项式以及多项式的一些初等函数
- 生成函数的简单了解,包括 OGF 和 EGF(仅限了解即可)
- 组合数学
指数生成函数 exp 的组合意义
我们考虑下面这个问题:
有 \(n\) 个不同的小球,我们设 \(k\) 个小球放入一个盒子中的方案数为 \(f_k\)(显然在球和盒子的问题中 \(f_i=1\),但是有时我们需要研究 \(f_i\) 不等于 \(1\) 的情况)。求下面两个问题的答案:
- \(n\) 个不同的小球放入 \(k\) 个互不区分的盒子中的方案数
- \(n\) 个不同的小球放入任意个互不区分的盒子中的方案数
我们设第一个问题的答案为 \(G_k[n]\),枚举 \(k\) 个盒子中都放多少个小球,我们有下面的式子:
我们设 \(f_i\) 的 EGF 为 \(F(x)\),\(G_k[i]\) 的 EGF 为 \(G_k(x)\),上面的式子就可以写成:
多项式快速幂即可解决。
而对于第二个问题,我们只需要枚举有多少个盒子即可。我们就可以写出下面的式子:
根据 \(e^x=\sum \limits_{i=0}^{+\infty} \frac{x^i}{i!}\)(麦克劳林展开),我们可以得到下面的式子:
出奇的简洁,对吧。这也就是指数生成函数 \(\mathrm{exp}\) 的组合意义,既将 \(n\) 个互异元素划分为任意非空的无序集合中,其中大小为 \(i\) 的集合方案数为 \(f_i\),最后总方案数为 \(g_n\),则两者 EGF 满足 \(G(x)=\mathrm{exp} (F(x))\)。或者说指示了用有标号的元素构成的集合来生成集族有多少情况。
如果上面这些话比较抽象,可以参照下面的两个个例子来理解:
- 有标号的小球放到一个盒子是集合,它能够通过 \(\mathrm{exp}\) 来转化为放到一堆盒子中的情况。
- 有标号的点形成连通块是集合,它能够转化为一堆连通块,也就是普通图。
欧拉变换
再回到小球和盒子上来,我们还可以解决下面这几个问题:
- 我们认为盒子有序,那么我们前面就不用除去 \(k!\),那么 \(G(x)=\sum \limits_{i=0} F^i(x) = \frac{1}{1-F(x)}\)。
- 无标号小球放入有标号盒子,那么只需要把前面的 EGF 换为 OGF 即可。
我们需要解决的问题主要在下一种:无标号小球放入无标号盒子。我们设生成函数 \(F(x)=\sum \limits_{i=0} f_i x^i\)。那么我们对大小为 \(i\) 的盒子构造完全背包的生成函数,既 \(\frac{1}{1-x^i}\),那么这些盒子的方案数即为 \(\frac{1}{(1-x^i)^{f_i}}\),我们就可以得到欧拉变换的定义式:
我们考虑把它化简一下,化简的具体过程可以参考我的十二重计数法博客,下面过程可能会略微省略。
这样就得到了欧拉变换的最终式子,欧拉变换的组合意义和 \(\mathrm{exp}\) 类似,但是它主要是用来解决无标号问题的,我们在下面的习题中会看到类似的题目。
一些题目
限于作者能力和精力有限,只能找一些板题来当例题了。
集合划分计数
一个有 \(n\) 个元素的集合,将其分为任意个非空无序子集,求方案数。
数据范围:\(T = 1000\),\(1\le n \le 10^5\)。
和上面第一个提到的例子相同,只不过为 \(f_i=[i>0]\) 的特殊情况。按照上面的式子写即可。
城市规划
求 \(n\) 个点有标号无向连通图的数量。
数据范围:\(n\le 10^5\)。
在计数杂题中,我们已经介绍了基于 DP 的分治 FFT 做法,这里我们再介绍基于 \(\mathrm{exp}\) 的组合意义的做法。
我们考虑一张简单无向图是如何组成的:是由一堆有标号点构成的连通块组成的。我们把上面的例子套到这里:小球即为有标号点,盒子即为连通块。只不过这里小球放入一个盒子中的方案数不为 \(1\) 了,我们设方案数为 \(f_i\)。而放到任意多个盒子中的方案数我们设为 \(g_i\),易得 \(g_n=2^{\dbinom{n}{2}}\)。根据 \(\mathrm{exp}\) 的组合意义,很容易得到下面的式子:
多项式 \(\ln\) 即可。
有标号 DAG 计数
对 \(n\) 个点有标号的有向无环图进行计数,要求:弱连通图(所有的有向边替换为无向边后的图为连通图)。
数据范围:\(n\le 10^5\)。
设 \(f_i\) 为大小为 \(i\) 的普通 DAG(可能不连通)的数量。
我们考虑模拟拓扑排序的过程,我们删去图中的 \(j\) 个零入度点,剩下的图仍然是一张 DAG。我们就能得到下面的式子:
注意这里我们乘了一个 \((-1)^{j+1}\),因为我们注意到我们没有保证恰好 \(j\) 个零入度点,所以要容斥一下。而 \(2^{j(i-j)}\) 是因为这 \(j\) 个点可以对剩下的 \((i-j)\) 个点选择连或不连边。因此公式为这个。我们考虑化简这个式子:
首先这个 \(\dbinom{i}{j}\) 很好处理,取两边的 EGF 即可,而对于 \(2^{j(i-j)}\),我们可以把它用下面这个式子化简:\(j(i-j)=\dbinom{i}{2}-\dbinom{j}{2}-\dbinom{i-j}{2}\)。这个式子易证,我们就可以把 \(2^{j(i-j)}\) 化为 \(\frac{2^{\dbinom{i}{2}}}{2^{\dbinom{j}{2}}\times 2^{\dbinom{i-j}{2}}}\)。这样我们构造下面这两个生成函数:
我们就能得到这个式子:\(F(x)=F(x)G(x)+1\),这里加一是因为有 \(F[0]=1\)。解方程即可得到 \(F(x)=\frac{1}{1-G(x)}\)。
我们得到了普通 DAG 的答案,我们考虑弱连通 DAG。一个普通 DAG 一定是由一堆弱连通的 DAG 构成,因此它也符合我们 \(\mathrm{exp}\) 的组合意义。因此我们只需要取一下 \(\ln\) 即可。
无标号无根树计数
求 \(n\) 个点的无标号无根树数量。
数据范围:\(1\le n \le 2\times 10^5\)。
本题是无标号问题,因此我们需要用上面提到的欧拉变换来解决。
我们先考虑有根树。我们把根去掉后,会形成一堆小的无标号有根树。如果我们把一棵树看作一个集合,那么这一堆树就是生成集族。通过比较系数我们就可以用欧拉变换列出下面的式子:
这么简洁的式子不出意料的难解决。我们考虑对两边求导。
我们发现右边这个 \(\sum \limits_{i=1}F'(x^i)\times x^{i}\) 及其恶心,我们设 \(G(x)=\sum \limits_{i=1}F'(x^i)\times x^{i}\),则
因此所有对 \(G(x)\) 第 \(n\) 项系数有 \(j\times f_j\) 的贡献的 \(j\) 必须满足 \(j|n\)。因此 \([x^n]G(x)=\sum \limits _{i|n}i\times f_i\)。
我们再把 \(G(x)\) 带回去,能够得到 \(xF'(x)-F(x) = F(x)G(x)\)。而我们发现 \(xF'(x)=\sum \limits _{i=1}i\times f_i\times x^i\),因此我们能得到下面的式子:
分治 FFT 即可。注意这里的分治 FFT 和 luogu 上的板子题不太一样,\(g_i\) 是依赖于已经计算过的 \(f_i\) 的,因此我们需要采取下面的方式转移:
当 \(l = 0\) 时,\(f_{l\sim mid}\times g_{0\sim r-l}\to f_{mid\sim r}\)。
当 \(l\not= 0\) 时,转移为:
这样我们就求出了有根树的数量,我们再考虑无根树的数量,我们只需要给它定个根:重心。减去不合法的(子树大小大于 \(\frac{n}{2}\) 的),这样答案即为:
但是我们考虑偶数个点可能会有两个重心,因此我们需要再减去当这两颗大小相同的树同构的情况,也就是 \(\dbinom{f_{\frac{n}{2}}}{2}\),这样就做完了。