P4016题解

本题是一个比较经典的问题（环形均分纸牌问题），我也不知道为什么它在网络流 24 题里面出现。但是作为一道比较典的排序算法的题，还是放出来讲一下。

solution

假设 $a_{1}$ 给 $a_{n}$ 了 $x_{1}$ 张纸牌， $a_{2}$ 给 $a_{1}$ 了 $x_{2}$ 张纸牌......（ $x_{i}$ 可正可负）。

因此操作数量为 $| x_{1} | + | x_{2} | + \dots | x_{n} |$ 。

令 $a = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$ 。

因此可以列出下面的式子：

{\begin{matrix} a_{1} - x_{1} + x_{2} = a \\ a_{2} - x_{2} + x_{3} = a \\ \dots \\ a_{n} - x_{n} + x_{1} = a \end{matrix}

将所有式子加起来，会发现是一个恒等式，因此不具有唯一解。

将方程进行等价代换：

{\begin{matrix} x_{1} - x_{2} = a_{1} - a \\ x_{2} - x_{3} = a_{2} - a \\ \dots \\ x_{n - 1} - x_{n} = a_{n - 1} - a \\ x_{n} - x_{1} = a_{n} - a \end{matrix}

令 $x_{1}$ 为自由变量，来表示其他变量

{\begin{matrix} x_{1} = x_{1} - 0 \\ x_{2} = x_{1} - (a_{1} - a) \\ x_{3} = x_{1} - (a_{1} + a_{2} - 2 a) \\ \dots \\ x_{n} = x_{1} - [a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} - (n - 1) a] \end{matrix}

后面的一堆 a 都为常数，记为 $C_{i}$

因此看最上面 $| x_{1} | + | x_{2} | + \dots | x_{n} |$ 的式子，就可以转化为 $| x_{1} - C_{1} | + | x_{1} - C_{2} | + \dots + | x_{1} - C_{n} |$

将其看作数轴上的一堆点：

可以将 $x_{1}$ 取作中位数能将操作次数最小化

证明：

绝对值不等式： $| a | + | b | \geq | a + b |$

假设 C 序列已排好序，将上式分组为 $(| x_{1} - C_{1} | + | C_{n} - x_{1} |) + (| x_{1} - C_{2} | + | C_{n - 1} - x_{1} |) \dots \geq | C_{n} - C_{1} + C_{n - 1} - C_{2} + C_{n - 2} - C_{3} + \dots + C_{\frac{n + 1}{2}} - x_{1} |$

因此令 $x_{1}$ 取到中位数即可

完整代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 1e6 + 10;
ll a[N], c[N], avg;
ll n;

int main()
{
    scanf("%lld", &n);
    avg = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        cin >> a[i];
        avg += a[i];
    }

    avg /= n;
    c[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i ++ ) c[i] = c[i - 1] + a[i] - avg;

    sort(c + 1, c + n + 1);
    ll res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) res += abs(c[i] - c[(n + 1) / 2]);

    cout << res << endl;

    return 0;
}