立体几何八大定理

线面平行

判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。

符号语言：

$$a\not\subset \alpha ,b\subset \alpha ,a//b⟹a//\alpha$$

性质定理：一条直线和平面平行，经过这条直线的平面这这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

符号语言：

$$\alpha \cap \beta =m,l//\alpha ,l\subset \beta ⟹l//m$$

面面平行

判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。

符号语言：

$$a\subset \beta ,b\subset \beta ,a\cap b=A,a//\alpha ,b//\alpha \Rightarrow \alpha //\beta$$

性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得两条交线平行。

符号语言：

$$\alpha \cap \gamma =a,\beta \cap \gamma =b,\alpha //\beta \Rightarrow a//b$$

线面垂直

判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这个直线垂直于这个平面。

符号语言：

$$a\perp m,a\perp n,m\cap n=A,m\subset \alpha ,n\subset \alpha \Rightarrow a\perp \alpha$$

性质定理：若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线平行。

符号语言：

$$a\perp \alpha ,b\perp \alpha \Rightarrow a//b$$

面面垂直

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

符号语言：

$$a\subset \beta ,a\perp \alpha \Rightarrow \alpha \perp \beta$$

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

符号语言：

$$\alpha \perp \beta ,\alpha \cap \beta =l,m\subset \beta ,m\perp l\Rightarrow m\perp \alpha$$