谁说退役就不能接着写学术内容了🤗

学术内容专区，记录一些大悟的东西。

2024.3.27

分子平均动能

先对理想气体做出一些假设：

气体分子与容器壁的碰撞为弹性碰撞，即碰撞前后动量大小不变
气体分子的分布均匀，做不规则运动。体系的温度不会自动降低

设一个气体分子的速度为 \(m\)，速率为 \(u\)。边长为 \(L\) 的正方形盒子里有 \(N\) 个分子。那么会有 \(\frac{N}{3}\) 个分子具有垂直于某一个面方向的动量 \(mu\)。这个分子碰撞到壁后动量变为 \(-mu\)。考虑这个分子碰撞这个容器壁两次的时间间隔围为 \(\frac{2L}{u}\)，那么连续两次碰撞之间这个分子平均动量变化量即为 \(\frac{2mu}{\frac{2L}{u}}=\frac{mu^2}{L}\)。

那么 \(\frac{N}{3}\) 个分子的动能变化量即为 \(\frac{N}{3}\times \frac{mu^2}{L}\)。设容器壁对这些分子的力为 \(f\)，那么动量定理可得 \(f=\frac{N}{3}\times \frac{mu^2}{L}\)。

并且 \(p=\frac{f}{S}=\frac{f}{L^2}\)，那么 \(pV=\frac{Nmu^2}{3}\)。

实际所有分子不可能速度全为 \(u\)，设速度为 \(u_i\) 的分子有 \(n_i\) 个（\(\sum n_i=N\)），那么对上式修正：

\[pV=\frac{m}{3}\times (\sum n_i u_i^2) \]

又因为 \(\sum n_i u_i^2=N\overline{u_i^2}\)（其中 \(\overline{u_i^2}\) 为速率平方的平均数），可以得到：

\[pV=\frac{mN\overline{u_i^2}}{3}=\frac{2N}{3}\times \frac{1}{2}m\overline{u_i^2}=\frac{2N}{3}\overline{E_k} \]

因此 \(pV=\frac{2N}{3}\overline{E_k}\)

但是我不会证 \(\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT\)，wyy 跟我说这个在物竞的统计热力学里有，并且锐评：

统计热力学就是排列组合

反正我不会。

2024.3.26

可逆过程体积功

考虑让压强为 \(p\) 的气体在外界压强为 \(p_外(p_外<p)\) 的情况下膨胀。显然气体会对外界做体积功。假设体积从 \(V_1\) 变为了 \(V_2\)，那么对外界做的体积功即为 \(p_外(V_2-V_1)\)，于是我们在等压膨胀的情况下对外做的体积功即为对 \(p_外-V\) 这个图像做积分。

又由于 \(pV=nRT\)，可得 \(p=\frac{nRT}{V}\)，由于 \(p_外<p\)，那么我们就让 \(p_外\) 每次减少一个无穷小量，相应的体积也会增加一个无穷小量。这样的一个过程也可以相当于为一个等压膨胀，可以参考下图：