0-1背包问题，附上例题（POJ - 3624 Charm Bracelet）

0-1背包问题的题目样式

有 N 件物品和一个容量为 M 的背包。放入第 i 件物品耗费的费用是 Wi，得到的价值是 Vi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

0-1背包问题关键在于该物品放或不放，即在当前容量为M的的情况下，选择不选择该物品，那么就有一个转移方程

for（i=0  -  N）

　　for(j= M - w[i])

　　　　dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);

当前物品为i，当前的背包容量为j，如果不选当前该物品，则选取dp[i-1][j]该值。如果选择当前物品，则选取dp[i-1][j+w[i]]+v[i]该值，从两个值当中选取大的值。

最后在dp[N][]中选出最大的，为总和最大的答案

 

0-1背包的方程优化

　　上一个转移方程解法，在时间上已基本无法优化，只能在空间上进行优化。从O（NM）-> O（M）

转移方程变为

for(j=M  -  w[i])

　　dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

下面解释一下为什么该方程可行：

因为w[i]是个正数，即j+w[i] > j肯定是成立的，j <=j 且j <=j+w[i]，所以对于下一次循环j+1肯定不会取到j+1之前的值，所以该转移方程对后续没有影响，是成立的。

最后找出dp[]中最大的就行

 

给出一道0-1背包的例题

POJ - 3624    http://poj.org/problem?id=3624

 

　　　　　Charm Bracelet

 

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Description

 

Bessie has gone to the mall's jewelry store and spies a charm bracelet. Of course, she'd like to fill it with the best charms possible from the N (1 ≤ N ≤ 3,402) available charms. Each charm i in the supplied list has a weight W_i (1 ≤ W_i ≤ 400), a 'desirability' factor D_i (1 ≤ D_i ≤ 100), and can be used at most once. Bessie can only support a charm bracelet whose weight is no more than M (1 ≤ M ≤ 12,880).

Given that weight limit as a constraint and a list of the charms with their weights and desirability rating, deduce the maximum possible sum of ratings.

 

Input

 

* Line 1: Two space-separated integers: N and M
* Lines 2..N+1: Line i+1 describes charm i with two space-separated integers: W_i and D_i

 

Output

 

* Line 1: A single integer that is the greatest sum of charm desirabilities that can be achieved given the weight constraints

 

Sample Input

 

4 6
1 4
2 6
3 12
2 7

 

Sample Output

 

23

未优化的代码，提交上去是（Memory Limit Exceeded），因为空间复杂度太大

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[3500][13000];
int main()
{
    int n , m ;
    int w[3500], v[3500];

    while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {
        for(int i= 1 ; i <= n ; i++)
            scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
        for(int i = 1 ; i <= n; i++) {
            for(int  j = 0; j <= m; j++) {
                if(j+w[i] <= m)
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j+w[i]]+v[i]);
                else dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
        int ans =0;
        for(int j = 0; j <= m; j++)
            ans = dp[n][j] > ans ? dp[n][j]:ans;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

下面给出优化的代码（accpeted）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[13000];
int main()
{
    int n , m ;
    int w[3500], v[3500];

    while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {
        for(int i= 1 ; i <= n ; i++)
            scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
        for(int i = 1 ; i <= n; i++) {
            for(int  j = 0; j <= m; j++) {
                if(j+w[i] <= m)
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j+w[i]]+v[i]);
                else dp[j] = dp[j];
            }
        }
        int ans =0;
        for(int j = 0; j <= m; j++)//
            ans = dp[j] > ans ? dp[j]:ans;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}