HDU7355 Colorings Counting

题意：$n$ 个点的环，每个点染上 $m$ 种颜色中的一种，要求相邻点的颜色不同。若两种方案能通过任意次旋转、翻转、整体 $+1$ 模 $m$ 变为相同，则这两种方案相同。求方案数。$n,m\le 10^{18}$

先考虑一些式子：$n$ 个点的链，相邻点不同色的方案数 $A(n)=m(m-1)^{n-1}$

$n$ 个点的环，相邻点不同色的方案数 $B(n)=(m-1)^n+(-1)^n(m-1)$，通过解递推式得到。

$n$ 个点的链，第一个不为 $1$ 且最后一个不为 $2$ 的方案数 $C(n)=(-1)^{n+1}\dfrac{(1-m)^{n+1}-1}{m}$

假设下标从 $0$ 开始。对下标的置换为 $i\rightarrow(c+i)\bmod n$ 或 $i\rightarrow(c-i)\bmod n$。根据 Burnside，考虑枚举一个置换和整体增量 $x$，求出此时不变的方案数。

第二种比较简洁，发现构成若干自环和二元环，图画出来比较美观。$n$ 为奇数时，一定存在恰好一个自环，这要求 $x=0$，然而一定存在由相邻的点构成的二元环，所以答案为 $0$。$n$ 为偶数时，若 $c$ 为偶数，则存在相对的两个自环，答案为 $A(\dfrac n 2 +1)$。若 $c$ 为奇数，全部为二元环，但存在两个由相邻的点构成的二元环，$x=\dfrac m 2$，答案为 $[2|m]A(\dfrac n 2)$。

考虑第一种，构成了 $g=\gcd(n,c)$个环，环长为 $d=\dfrac n g$。要求 $dx\equiv 0\pmod m$ 即 $\dfrac m{\gcd(m,d)}|x$，$0..g$ 相邻点不同色，其中 $a_g\equiv a_0+kx\pmod m$。$kx\equiv0\pmod m$ 时，方案数即为 $B(g)$，否则为 $mC(g-1)$。注意到 $k$ 满足 $kc\equiv g\pmod n$ 即 $k\dfrac c g\equiv 1\pmod d$，$\gcd(k,d)=1$。$kx\equiv 0\pmod m$ 等价于 $kq\equiv0\pmod{\gcd(m,d)}$，而 $\gcd(k,m,d)=1$，所以当且仅当 $q=x=0$。此时答案为 $F(g)=mC(g-1)[\gcd(m,\dfrac n g)-1]+B(g)$。

第一类的答案为 $\sum\limits_{i=1}^nF[\gcd(i,n)]=\sum\limits_{d|n}F(d)\varphi(\dfrac n d)$。Pollard-rho 求出质因子后，预处理所有因数和对应的 $\varphi$ 值即可，单次 $\mathrm{O}(n^{\frac 1 4}+d(n)\log n)$。