2021 暑假集训
7.8 D
题意：给定一个序列，求序列中所有区间的最大子段和之和
考虑分治。设分治中心为 \(mid\)，对于左边的每个后缀，预处理出最大子段和和最大后缀和，右边同理。
考虑一组 \(L,R\)，\([L,mid]\) 的最大子段和为 \(A\)，最大后缀和为 \(x\)， \([mid+1,r]\) 的最大子段和为 \(B\)，最大前缀和为 \(y\)。如果 \(A\le B\)，且 \(x+y\ge B\) 即 \(y\ge B-x\)，贡献为 \(x+y\)。若 \(x+y<B\) 即 \(y<B-x\)，贡献为 \(B\)。\(A>B\) 时同理。
所以其实是一个二维偏序，\(A\le B\) 和 \(A>B\) 分别做一遍，用树状数组维护。时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。
7.10 D
题意：给定一棵树，多组询问，每次保留编号在 \([l,r]\) 内的点和边，求连通块数量。
把两边都有点的边称为有效边，连通块个数就是点数 \(-\) 有效边数。
考虑编号为 \(i\) 的边，两端点为 \(a,b\)，需满足 \(l\le i,a,b\le b\) 即 \(l\le\min\{i,a,b\}\le\max\{i,a,b\}\le r\)，转换成二维偏序，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
7.11 D
题意：给定三个序列，求出每个区间在三个数列中的极差之积的和。
考虑枚举右端点 \(r\)，维护每个左端点的答案。同时对每个序列维护上升和下降两个单调栈。以上升为例，弹出栈中的某一个下标为 \(y\) 的元素时，设栈中前一个元素为 \(x\)，那么对于每个 \(i~(x<i\le y)\)，\([i,r]\) 的最大值会增加 \(a[r]-a[y]\)。
问题变成了：维护三个数组 \(A,B,C\)，区间加，区间求 \(\sum A_iB_iC_i\)。线段树即可。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
7.13 D
题意：给定一个序列，多次询问区间 \([l,r]\) 中有多少个子区间满足其中不同数字个数为奇数。
将询问离线。记 \(f(l,r)\) 为 \([l,r]\) 内不同数字个数的奇偶性（\(0\) 或 \(1\)），若 \(l>r\) 则为 \(0\)。枚举右端点 \(r\)，维护每个左端点 \(l\) 的 \(f(l,r)\)，并维护 \(\sum\limits_{i=1}^rf(l,i)\)。记 \(p_i\) 为 \(i\) 前面最后一个 \(a_i\) 的下标，当右端点从 \(r-1\) 变成 \(r\) 时，所有左端点在 \([p_r+1,r]\) 中的区间的 \(f\) 都会异或 \(1\)。
使用线段树维护。每个节点维护 \(sum\) 表示 \(\sum\limits_{i=1}^rf(l,i)\) 之和，以及三个标记：\(t0\) 表示 \(sum\) 加上了区间内 \(0\) 的个数，\(t1\) 表示 \(sum\) 加上了区间内 \(1\) 的个数，\(rev\) 表示是否 \(0/1\) 翻转。类似区间加乘，我们规定先 \(t0/t1\) 再 \(rev\)。给区间打上 \(t0\) 标记时，如果已经有 \(rev\)，则改为打上 \(t1\) 标记，反之同理。
移动右端点时需要区间 \(0/1\) 翻转，区间打上 \(t1\) 标记。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
7.15 D
\(n\le 1000\) 时显然可以费用流。\(n\le 10^6\) 时就要用队列优化贪心。
对于第 \(i\) 天，从第 \(j\) 天买 \(x\) 单位水的费用是 \(x[m(i-j)+p_j]\)。考虑存在 \(j,k~(j<k)\)，如果 \(p_j-mj\ge p_k-mk\)，我们一定不会选择从第 \(j\) 天买水，因为一定可以从第 \(k\) 天买代替，并且不劣。
于是可以维护一个 \(p_j-mj\) 单调上升的队列，并维护该天的可用容量，初始为 \(V\)。每次比较队首和 \(p_i\) 哪个更优，如果队首优则从队首买，买空了则弹出队首，继续贪心。如果从队首买了 \(x\) 单位水，由于要运往第 \(i\) 天，队列中所有元素的可用容量都会减少 \(x\)。所以还需要维护一个全局 \(tag\)。
时间复杂度 \(O(n)\)。
P5278 算术天才⑨与等差数列
考虑 \(k\neq 0\) 时，区间 \([l,r]\) 成为公差为 \(k\) 的等差数列的条件：
- 区间 \(\max-\min=k(r-l)\)
- \(\gcd\limits_{l<i\le r}(\mid a_i-a_{i-1}\mid)=k\)
- 区间内数字互不相同
对于 1 和 2，直接用线段树维护。对于 3，求出 \(p_i\) 为 \(i\) 前面最后一个 \(a_i\) 的下标，问题转化成判断 \(\min\{p_i\}<l\) 是否成立。也用线段树维护。修改时需要用 set，可能会有亿些细节。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
P4216 [SCOI2015]情报传递
对于一次时间为 \(t\) 的询问，将时间小于 \(t-c\) 的点加 \(1\)，问题转化成链上求和。
所以可以将询问离线，按 \(t-c\) 排序，单点加链上求和，转化成子树加单点求和，用树状数组 + dfs 序实现。
时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
CF765F Souvenirs
考虑枚举 \(i\)，求出所有有用的二元组 \((i,j)\)。如果 \((i,j)\) 是有用的二元组，且 \(a_i<a_j\)，对于 \(k~(j<k)\)，若 \(a_j<a_k\)，则 \((i,k)\) 一定是没用的。若 \(a_k-a_i\ge a_j-a_k\) 即 \(a_k\ge\dfrac{a_i+a_j}{2}\)，\((i,k)\) 也是没用的。因为对于一个区间，若其包含了 \((i,k)\)，则必定包含 \((j,k)\)，而 \((j,k)\) 更优。
\(a_i>a_j\) 时同理。容易证明有用的二元组个数是 \(O(n\log n)\) 的。用主席树求出这些二元组后，问题转化成求 \(l\le a,b\le r\) 的二元组中差的绝对值的最小值。离线 + 树状数组即可。
时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。
P7447 [Ynoi2007] rgxsxrs
将值域按照倍增的方式分成 \(O(\log V)\) 个块：\([1,15],[16,255],[256,4095],\dots\)
对每一个值域块用一棵线段树，维护原序列的和、最值，并只保留值在这个值域块内的数。
修改操作：对于每个值域块，在线段树上 暴力修改。走到线段树的某一个节点时，如果出现以下情况：
- 区间内没有数，直接返回
- \(\max\le x\)，没有数需要修改，直接返回
- \(\min-x\ge L\)，直接打一个区间减的标记。
否则继续往两边递归。到叶子节点时，如果这个位置的数 \(-x< L\)，说明它要掉到（小于当前块）的值域块中，把它放到一个栈中，并在当前节点做一些修改。
然后，对于栈中的每一个元素，计算出它要去的块。在这棵线段树上，先递归到这个位置，把沿途所有标记都下传。然后再修改这个位置上的值。
查询就很好搞了。
时间复杂度分析：考虑对于每个数，暴力修改到这个位置，当且仅当它下落了至少一个块，而一个数最多下落 \(\log V\) 次。所以修改的复杂度是 \(O(n\log n\log V)\)。查询也是 \(O(n\log n\log V)\)。
GYM Beautiful Sequence Unraveling
题意：定义一个长度为 \(n\) 数列是美丽的，当且仅当不存在 \(i~(1\le i<n)\) 使得 \(\max\{a_1,a_2,\dots,a_i\}=\min\{a_{i+1},a_{i+2},\dots,a_n\}\)。求长度为 \(n\) 且由数字 \(1..k\) 组成的美丽的序列个数。\(n\le 500,k\le10^8\)
发现这个 \(k\) 是吓唬人的，只需要求出用 \(1,2,\dots n\) 种再组合一下就行了。
记 \(f_{i,j}\) 为长度为 \(i\) 且用了数字 \(1..j\) 的美丽的序列（不一定全用）。它等于 \(j^i\) 减去不美丽的序列数量。
枚举 \(t\) 表示最右边的满足 \(\max\{a_1,a_2,\dots,a_t\}=\min\{a_{t+1},a_{t+2},\dots,a_i\}\) 的位置。再枚举 \(m\) 表示 \([1,t]\) 的 \(\max\)。由于 \(t\) 是最右边的位置，\([t+1,i]\) 一定是一个美丽序列。而左边可以任意，只要最大值为 \(m\) 即可。
\(f_{i,j}=j^i-\sum\limits_{t=1}^{i-1}\sum \limits_{m=1}^j(m^t-(m-1)^t)(dp_{i-t,j-m+1}-dp_{i-t,j-m})\)
但这是 \(O(n^4)\) 的，考虑前缀和优化。记 \(g_{j,m}=\sum\limits_i\dfrac{f_{i,j}}{m^i}\)
则 \(f_{i,j}=j^i-\sum\limits_{m=1}^jm^i(g_{j-m+1,m}-g_{j-m,m})-(m-1)^i(g_{j-m+1,m-1}-g_{j-m,m-1})\)
再记 \(h_j\) 为：长度为 \(n\) 的，且 恰好用了 \(j\) 种数字的美丽序列数量。显然有 \(h_1=f_{n,1}\)。
考虑将 \([1,x]\) 内的数字重新标号成 \([1,y]\) 内的数字（不改变相对大小），有 \(C_y^x\) 种方案。
则 \(h_j=f_{n,j}-\sum\limits_{k=1}^{j-1}h_kC_j^k\)
答案为 \(\sum\limits_{j=1}^nh_jC_k^j\)
而 \(C_k^j=\dfrac{k!}{(k-j)!j!}=\dfrac{k!(k-j+1)}{(k-j+1)!(j-1)!j}=\dfrac{k-j+1}{j-1}C_k^{j-1},~C_k^1=k\)，所以可以边推组合数边加答案。
时间复杂度 \(O(n^3)\)。
