柯西不等式证明方法大全

定义

对于任意实数 \(a_i,b_i(i=1,2,\cdots,n)\),有

\[\sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 \ge \left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2, (n\in\mathbb N^+) \qquad\qquad(*) \]

当且仅当 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\) 时,等号成立.

法一、构造二次函数

分析

可通过二次函数的判别式证明.

证明

当 \(a_1=a_2=\cdots=a_n\) 或 \(b_1=b_2=\cdots=b_n\) 时,\((*)\) 式显然成立.

设 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 中至少有一个不为 \(0\),令

\[A=\sum\limits_{i=1}^n a_i^2, B=\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i, C=\sum\limits_{i=1}^n b_i^2, \]

则 \(A>0\).

设二次函数

\[f(x) =Ax^2+2Bx+C =\sum\limits_{i=1}^n (a_i^2x^2+2a_ib_ix+b_i^2) =\sum\limits_{i=1}^n (a_ix+b)^2 \ge 0, \]

\(\therefore\) \(\Delta=(2B)^2-4AC\le 0\Longleftrightarrow AC\ge B^2\),则 \((*)\) 式成立.

要使 \((*)\) 式取等号,即 \(\Delta=0\),则 \(f(x)\) 有唯一零点,

即有唯一实数 \(x\) 使

\[a_ix+b_i=0(i=1,2,\cdots,n). \]

若 \(x=0\),则 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n),\)

若 \(x\not=0\),则 \(a_i=-\frac 1x b_i(i=1,2,\cdots,n).\)

综上,\((*)\) 式成立,当且仅当 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\) 时取等号.

法二、向量内积

分析

用向量内积与向量模的积的大小关系即可证明.

证明

设 \(n\) 维空间直角坐标系中有向量 \(\boldsymbol \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol \beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\),且 \(\boldsymbol \alpha\) 与 \(\boldsymbol \beta\) 之间的夹角为 \(\theta(0\le\theta\le\pi)\),则有

\[\begin{aligned} &\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| \cos\theta\\ \Longleftrightarrow &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| |\cos\theta|, \end{aligned} \]

又 \(|\cos\theta|\le 1\),则

\[\begin{aligned} &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| \le|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta|\\ \Longleftrightarrow &\left| \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right| \le\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 } \sqrt{ \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 }\\ \Longleftrightarrow &\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 \le \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2, \end{aligned} \]

可得 \((*)\) 式成立.

易知当且仅当 \(\boldsymbol \alpha\) 与 \(\boldsymbol \beta\) 同线时,即 \(\boldsymbol \beta=\boldsymbol 0\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,\boldsymbol \alpha=k\boldsymbol \beta\) 时,\(|\boldsymbol \alpha\cdot\boldsymbol \beta|=|\boldsymbol \alpha||\boldsymbol \beta|\),即

当且仅当 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\) 时,\((*)\) 式取等号.

法三、作差法

分析

作差,然后配平方即可.

证明

易得

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 -\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 &= \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_i^2b_j^2 -\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2) -\frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n 2a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ib_ja_jb_i)\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_ib_j-a_jb_i)^2\ge 0, \end{aligned} \]

当且仅当 \(a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2.\cdots,n)\),即 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\) 时,等号成立,即证.

法四、排序不等式

分析

通过排序不等式的形式来表示柯西不等式.

证明

易知 \((*)\) 式等价于

\[\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j \ge\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j, \]

由排序不等式可知上式成立,当且仅当 \(a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2,\cdots,n)\),即 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)\) 时,等号成立.

法五、数学归纳法

分析

与 \(n\) 相关的不等式一般都能用数学归纳法,这里就不多说了.

证明

设 \(n=k\).

当 \(k=1\) 时,\((*)\) 式显然成立.

当 \(k\ge 2\) 时,不妨设当 \(n=k-1\) 时 \((*)\) 式成立,则

\[\begin{aligned} \left( \sum\limits_{i=1}^k a_i^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^k b_i^2 \right) =&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 +a_k^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +b_k^2 \right)\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 -\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} (a_ib_k-a_kb_i)^2 +(a_kb_k)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_ia_kb_k\\ \ge&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i \right)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_ia_kb_k +(a_kb_k)^2\\ =&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i +a_kb_k \right)^2\\ =&\left( \sum\limits_{i=1}^k a_ib_i \right)^2, \end{aligned} \]

当且仅当 \(\sum\limits_{i=1}^{k-1}(a_ib_k-a_kb_i)^2=0\),即 \(a_ib_k=a_kb_i(i=1,2,\cdots,n)\),且 \(\sum\limits_{i=1}^na_i^2\sum\limits_{j=1}^nb_j^2=\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2\) 时,等号成立.

综上,\((*)\) 式成立,当且仅当 \(b_i=0(i=1,2,\cdots,n)\) 或 \(\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i\) 时,等号成立.