矩阵论重点总结

矩阵论

第一章 线性空间和线性变换#

线性空间的基与维数#

1. 线性空间：加法和数乘的封闭性 + 8条规则
2. 基底：一组线性无关的向量，且其他元素可以由它们线性表出
3. 维数：基底向量的个数
4. 子空间
5. 生成子空间
6. 交子空间：$ V_1 \cap V_2 $
7. 和子空间：$ V_1 + V_2 $
8. 维数定理：$ dimV_1 + dimV_2 = dim V_1 + V_2 + dim V_1 \cap V_2 $

线性变换#

1. 变换
2. 线性变换

像子空间、核子空间（用线性变换定义的子空间）#

1. 像子空间：$ T V $
2. 核子空间：$ T^{-1}(0) $
3. 维数定理2：$ dim T V + dim T^{-1}(0) = n$

线性变换的矩阵#

1. 用矩阵A表示线性变换T
2. 求同一个线性变换在不同基底下的矩阵

第二章 内积空间#

内积空间#

1. 实内积空间：实数域
2. 元素大小

标准正交基#

1. 标准正交基：所有基正交+长度为1
2. 施密特正交化

正规矩阵的对角化#

1. 酉空间：复数域
2. 酉矩阵：\(A^HA = AA^H = E\)
3. 正规矩阵：$A^HA = AA^H $
4. 对角矩阵、实对阵矩阵、反实对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵、正交矩阵、酉矩阵都是正规矩阵
5. 正规矩阵对角化：正规矩阵一定可以对角化

第三章 矩阵的标准型#

哈密顿-凯莱定理#

1. 简化运算

最小多项式#

1. 特征多项式
2. 零化多项式
3. 特征多项式就是矩阵A的零化多项式
4. 最小多项式
5. 最小多项式的根 = 特征多项式的根

约当标准型（Jordan标准型）#

1. \(\lambda\)矩阵
2. 行列式因子
3. 不变因子
4. 初级因子
5. 约当标准型
6. 行列式因子法求约当标准型

史密斯标准型（Smith标准型）#

1. 史密斯标准型
2. 用史密斯标准型法求约当标准型