红黑树(图解+秒懂+史上最全)

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红黑树为何必须掌握?

来看看,红黑树的广泛的应用

  • JDK 1.8开始,HashMap也引入了红黑树:当冲突的链表长度超过8时,自动转为红黑树
  • Java中,TreeMap、TreeSet都使用红黑树作为底层数据结构
  • Linux底层的CFS进程调度算法中,vruntime使用红黑树进行存储。
  • 多路复用技术的Epoll,其核心结构是红黑树 + 双向链表。

面试过程中,HashMap 常常是面试的重点, 而且会以连环炮 的方式进行发问,

所以, 红黑树基本是 面试必须的 要点如果 答不上来,面试就有 很大程度 就黄了

红黑树,又比较复杂,有非常多的场景, 大家记住不容易。

本文,尼恩帮大家做了 彻底,形象的梳理, 帮助大家 轻松 记住 红黑树

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本文的介绍次序

本文,从 BST二叉查找树, 到AVL 平衡二叉树, 再到 RBT 红黑树,

为大家 做好 清晰的场景分析, 帮助大家记忆。

BST二叉查找树

什么是二叉查找树呢?

二叉查找树(BST)具备以下特性:

  1. 左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。
  2. 右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。
  3. 左、右子树也分别为二叉排序树。

二叉搜索树 BST的完美情况

一般人们理解的二叉树(又叫二叉搜索树 BST)会出现一个问题,完美的情况下,它是这样的:

img

二叉搜索树的查找流程

如何查找值为7的节点?
1.查看根节点8,因为7<8,所以再查看它的左子节点6
2.查看左子节点6,因为7>6,所以再查看它的右子节点7
3.查看右子节点7,因为7=7,所以就找到啦,

二叉搜索树的极端情况

二叉查找树是有缺点的,在不断插入的时候,有可能出现这样一种情况:很容易“退化”成链表,

如果bst 树的节点正好从大到小的插入,此时树的结构也类似于链表结构,这时候的查询或写入耗时与链表相同。

退化成为了 链表的特殊BST

一颗特殊BST,退化成为了 链表,如下图:

img

它和链表一样,搜索的时候,最坏情况的时间复杂度O(n) 。

那么我们怎么避免这种情况呢?

为了避免这种特殊的情况发生,引入了平衡二叉树(AVL)和红黑树(red-black tree)。

AVL 、rbt 都是通过本身的建树原则来控制树的层数和节点位置,

因为rbtree是由AVL演变而来,所以我们从了解AVL开始。

AVL平衡二叉树

平衡二叉树也叫AVL(发明者名字简写),也属于二叉搜索树的一种,与其不同的是AVL通过机制保证其自身的平衡。

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。

在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1,所以它也被称为高度平衡树。

增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

AVL树的特性

AVL树本质上还是一棵二叉搜索树,它有以下特性:

  • 特性1: 对于任何一颗子树的root根结点而言,它的左子树任何节点的key一定比root小,而右子树任何节点的key 一定比root大;

  • 特性2:对于AVL树而言,其中任何子树仍然是AVL树;

  • 特性3:每个节点的左右子节点的高度之差的绝对值最多为1;

特性1表明,AVL 继承于 BST , 所以:

1.AVL本身首先是一棵BST 二叉搜索树。
2.AVL带有平衡条件:每个结点的左右子树的高度之差的绝对值(平衡因子)最多为1。

在插入、删除树节点的时候,如果破坏了以上的原则,AVL树会自动进行调整使得以上三条原则仍然成立。

也就是说,AVL树,本质上是带了平衡功能的二叉查找树(二叉排序树,二叉搜索树)。

AVL树的平衡功能

举个例子,下左图为AVL树最长的2节点与最短的8节点高度差为1;

当插入一个新的节点后,根据上面第一条原则,它会出现在2节点的左子树,但这样一来就违反了原则3。

img

此时AVL树会通过节点的旋转进行进行平衡,

AVL调整的过程称之为左旋和右旋,

AVL平衡的调整过程

旋转之前,首先确定旋转支点(pivot): 这个旋转支点就是失去平衡这部分树,在自平衡之后的根节点,

平衡的调整过程,需要根据pivot它来进行旋转。

我们在学习AVL树的旋转时,不要将失衡问题扩大到整个树来看,这样会扰乱你的思路,

我们只关注失衡子树的根结点 及它的子节点和孙子节点即可。

事实上,AVL树的旋转,我们权且叫“AVL旋转”是有规律可循的,因为只要聚焦到失衡子树,然后进行左旋、右旋即可。

很多人在左旋和右旋有时候弄不明白,

其实左旋就是逆时针转,右旋是顺时针转

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AVL子树失衡的四大场景

导致AVL失衡的场景就是有限的4个:

  • 左左结构失衡(LL型失衡)

  • 右右结构失衡(RR型失衡)

  • 左右结构失衡(LR型失衡)

  • 右左结构失衡(RL型失衡)

删除元素,也会导致AVL失衡,需要再平衡,但是原理和插入元素是类似的。

这里聚焦 介绍插入元素的平衡过程, 删除元素,不做介绍。

场景1: LL型失衡-左左结构失衡(右旋):

场景: 插入的元素在子树root的左侧不平衡元素的左侧

此时,以root的左儿为支点,也就是,左侧的不平衡元素为pivot(支点), 进行右旋

在这里插入图片描述

来一个右旋的动画:

在这里插入图片描述

右旋过程中,如果pivot有右子树,则作为 原root的 左子树, 保障AVL的特性1

记忆要点

尼恩备注记忆要点,LL型失衡怎么 平衡呢?

旋转的反向,与失衡的方向相反,

LL 型失衡,与左边 相反的方向, 是右边,所以是右旋

场景2 RR型失衡:右右结构失衡(左旋)

场景:插入的元素在子树root右侧的不平衡子树的右侧

此时,以root的右儿为支点,也就是,右侧的不平衡元素 为 pivot(支点), 进行左旋

img

来一个左旋的动画:

在这里插入图片描述

左旋过程中,如果pivot有左子树,则作为 原root的 右子树,

保障AVL的特性1,

记忆要点

尼恩备注记忆要点,RR型失衡怎么 平衡呢?

旋转的反向,与失衡的方向相反

RR 型失衡,与右边 相反的方向, 是左边,所以是左旋

场景3 LR型失衡:左右结构失衡(左旋+右旋):

场景: 插入的元素在左侧的不平衡元素的右侧

img

记忆要点

尼恩备注记忆要点,LR型失衡怎么 平衡呢?

旋转的反向,与失衡的方向相反

LR型失衡,与只相反的方向是 RL,但是先旋转底部,再旋转顶部,RL进行次序颠倒,LR

所以, LR型失衡,旋转的方式,是先左旋, 再右旋

场景4 RL失衡: 右左结构 (右旋+左旋):

场景: 插入的元素在右侧的不平衡元素的左侧

img

记忆要点

尼恩备注记忆要点,RL型失衡怎么 平衡呢?

旋转的反向,与失衡的方向相反

RL型失衡,与只相反的方向是 LR,但是先旋转底部,再旋转顶部,所以,LR进行次序颠倒,RL

最终, RL型失衡,旋转的方式,是先右旋, 再左旋

AVL树平衡总结

可见无论哪种情况的失衡,都可以通过旋转来调整。

不难看出,旋转在图上像是将pivot(支点)节点向上提(将它提升为root节点),而后两边的节点会物理的分布在新root节点的两边,

接下来按照AVL二叉树的要求:

左子树小于root,右子树大于root进行调整。

从图LL结构可以看出,当右旋时原来pivot(7)的右子树(8)会转变到原root点(9)的左子树处;

img

从图右右结构可见,当左旋时,原来pivot(18)的左子树会分布到原root点(9)的右子树。

img

对于左右结构和右左结构无非是经过多次旋转达到稳定,旋转的方式并没有区别,

AVL树本质上还是一棵二叉搜索树,它有以下特性:
1.本身首先是一棵二叉搜索树。
2.带有平衡条件:每个结点的左右子树的高度之差的绝对值(平衡因子)最多为1。

也就是说,AVL树,本质上是带了平衡功能的二叉查找树(二叉排序树,二叉搜索树)。

AVL树的删除

删除的判断标准

  1. 要删除的节点是什么类型的节点?;
  2. 删除后是否会破坏平衡 ;

节点类型

  1. 叶子节点;
  2. 节点只有左子树或只有右子树 ;
  3. 既有左右子树都有。

处理的思路

  1. 当删除为叶子节点,则直接删除,并从父亲节点开始往上看,判断是否失衡;如果没有失衡,再判断父亲的父节点是否失衡,直到根节点。若失衡则判断失衡类型(LL、LR、RR、RL),再进行相应的调整。
  2. 删除的节点只有左子树或只有右子树,那么将节点删除,以左子树或右子树进行代替,并进行相应的平衡判断,若失衡则调整,一直到根节点 ;
  3. 删除的节点既有左子树又有右子树,找到其前驱或者后驱节点将其替换,再判断是否失衡,然后根据失衡情况调整,直到根节点。

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常见AVL面试题

问:什么是AVL左旋和右旋?

加入节点后,左旋和右旋 ,维护AVL平衡性

右旋转

场景: 插入的元素在不平衡元素的左侧的左侧

x.right = y

y.left = xxx(原x.right)

   对节点y进行向右旋转操作,返回旋转后新的根节点x
            y                             x
           / \                          /   \
          x   T4     向右旋转 (y)        z     y
         / \       - - - - - - - ->    / \   / \
        z   T3                       T1  T2 T3 T4
       / \
     T1   T2

场景:插入的元素在不平衡元素的右侧的右侧

// 向左旋转过程

x.left = y;

y.right =(原x.left )

对节点y进行向左旋转操作,返回旋转后新的根节点x
        y                             x
      /  \                          /   \
     T1   x      向左旋转 (y)       y     z
         / \   - - - - - - - ->   / \   / \
       T2  z                     T1 T2 T3 T4
          / \
         T3 T4

AVL树的问题

既然AVL树可以保证二叉树的平衡,这就意味着AVL搜索的时候,它最坏情况的时间复杂度O(logn) ,要低于普通二叉树BST和链表的最坏情况O(n)。

那么HashMap直接使用AVL树来替换链表就好了,为什么选择用红黑树呢?

原因是:

由于AVL树必须保证左右子树平衡,Max(最大树高-最小树高) <= 1,

所以在插入的时候很容易出现不平衡的情况,一旦这样,就需要进行旋转以求达到平衡。

正是由于这种严格的平衡条件,导致AVL需要花大量时间在调整上,故AVL树一般使用场景在于查询场景, 而不是 增加删除 频繁的场景。

红黑树(rbt)做了什么优化呢?

红黑树(rbt)继承了AVL可自平衡的优点,

同时, 红黑树(rbt)在查询速率和平衡调整中寻找平衡,放宽了树的平衡条件,从而可以用于 增加删除 频繁的场景。

在实际应用中,红黑树的使用要多得多。

红黑树(RBTree)

红黑树是一种特化的AVL树(平衡二叉树)

红黑树是在1972年由Rudolf Bayer发明的,当时被称为平衡二叉B树(symmetric binary B-trees).

在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的“红黑树”.

什么是红黑树?

红黑树也是一种自平衡二叉查找树,它与AVL树类似,都在添加和删除的时候通过旋转操作保持二叉树的平衡,以求更高效的查询性能。

与AVL树相比,红黑树牺牲了部分平衡性,以换取插入/删除操作时较少的旋转操作,整体来说性能要优于AVL树。

虽然RBTree是复杂的, 但它的最坏情况运行时间也是非常良好的,并且在实践中是高效的:

它可以在O(log n)时间内做查找,插入和删除,这里的n 是树中元素的数目.

红黑树的特性

红黑树是实际应用中最常用的平衡二叉查找树,它不严格的具有平衡属性,但平均的使用性能非常良好。

在红黑树中,节点被标记为红色和黑色两种颜色。

红黑树的原则有以下几点:

  • 特性1:节点非黑即红

  • 特性2:根节点一定是黑色

  • 特性3:叶子节点(NIL)一定是黑色

  • 特性4:每个红色节点的两个子节点都为黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

  • 特性5:从任一节点到其每个叶子的所有路径,都包含相同数目的黑色节点。

红色属性 说明,红色节点的孩子,一定是黑色。 但是,RBTree 黑色节点的孩子,可以是红色,也可以是黑色,具体如下图。

叶子属性 说明, 叶子节点可以是空nil ,AVL的叶子节点不是空的,具体如下图。

img

基于上面的原则,我们一般在插入红黑树节点的时候,会将这个节点设置为红色,

原因参照最后一条原则: 红色破坏原则的可能性最小,如果是黑色, 很可能导致这条支路的黑色节点比其它支路的要多1,破坏了平衡。

记忆要点:

可以按照括号里边的分类,记住 红黑树的几个原则:

  • 颜色属性)性质1:节点非黑即红

  • 根属性)性质2:根节点一定是黑色

  • 叶子属性)性质3:叶子节点(NIL)一定是黑色

  • 红色属性)性质4:每个红色节点的两个子节点,都为黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

  • (黑色属性)性质5:从任一节点到其每个叶子的所有路径,都包含相同数目的黑色节点。

黑色属性,可以理解为平衡特征, 如果满足不了平衡特征,就要进行平衡操作。

空间换时间

RBT有点属于一种空间换时间类型的优化,

在avl的节点上,增加了 颜色属性的 数据,相当于 增加了空间的消耗。 通过颜色属性的增加, 换取,后面平衡操作的次数 减少。

黑色完美平衡

红黑树并不是一颗AVL平衡二叉搜索树,从图上可以看到,根节点P的左子树显然比右子树高

根据 红黑树的特性5,从任一节点到其每个叶子的所有路径,都包含相同数目的黑色节点, 说明:

rbt 的 左子树和右子树的黑节点的层数是相等的

红黑树的平衡条件,不是以整体的高度来约束的,而是以黑色 节点的 高度,来约束的。

所以称红黑树这种平衡为黑色完美平衡

在这里插入图片描述

看看黑色完美平衡的效果,

去掉 rbt中的红色节点,会得到 一个四叉树, 从根节点到每一个叶子,高度相同,就是rbt的root到叶子的黑色路径长度。

在这里插入图片描述

红黑树的恢复平衡过程的三个操作

一旦红黑树5个原则有不满足的情况,我们视为平衡被打破,如何 恢复平衡?

靠它的三种操作:变色、左旋、右旋

1.变色

节点的颜色由红变黑或由黑变红。(这个操作很好了解)

2.左旋

以某个结点作为支点(pivot),其父节点(子树的root)旋转为自己的左子树(左旋),pivot的原左子树变成 原root节点的 右子树,pivot的原右子树保持不变。

在这里插入图片描述

img

3.右旋:

以某个结点作为支点(pivot),其父节点(子树的root)旋转为自己的右子树(右旋),pivot的原右子树变成 原root节点的 左子树,pivot的原左子树保持不变。

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

红黑树的左旋、右旋操作,AVL树的左旋,右旋操作 差不多

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红黑树插入节点情景分析

红黑树的节点结构

先看看红黑树的节点结构

以HashMap中的红黑树的结构定义为例子:

  static class Node<K,V> implements Map.Entry<K,V> {
        final int hash;
        final K key;
        volatile V val;
        volatile Node<K,V> next;
        }


/**
 * Nodes for use in TreeBins
 */
static final class TreeNode<K,V> extends Node<K,V> {
    TreeNode<K,V> parent;  // red-black tree links
    TreeNode<K,V> left;
    TreeNode<K,V> right;
    TreeNode<K,V> prev;    // needed to unlink next upon deletion
    boolean red;

    TreeNode(int hash, K key, V val, Node<K,V> next,
             TreeNode<K,V> parent) {
        super(hash, key, val, next);
        this.parent = parent;
    }

默认新插入的节点为红色:

因为父节点为黑色的概率较大,插入新节点为红色,可以避免颜色冲突

场景1:红黑树为空树

直接把插入结点作为根节点就可以了

另外:根据红黑树性质 2根节点是黑色的。还需要把插入节点设置为黑色。

场景2:插入节点的Key已经存在

更新当前节点的值,为插入节点的值。

在这里插入图片描述

情景3:插入节点的父节点为黑色

由于插入的节点是红色的,当插入节点的父节点是黑色时,不会影响红黑树的平衡,

所以: 直接插入无需做自平衡

在这里插入图片描述

情景4:插入节点的父节点为红色

根据性质2:根节点是黑色。

如果插入节点的父节点为红色节点,那么该父节点不可能为根节点,所以插入节点总是存在祖父节点(三代关系)。

根据性质4:每个红色节点的两个子节点一定是黑色的。不能有两个红色节点相连

此时会出现两种状态:

  • 父亲和叔叔为红色

  • 父亲为红色,叔叔为黑色

如图

在这里插入图片描述

场景4.1:父亲和叔叔为红色节点

根据性质4:红色节点不能相连 ==》祖父节点肯定为黑色节点:

父亲为红色,那么此时该插入子树的红黑树层数的情况是:黑红红。

因为不可能同时存在两个相连的红色节点,需要进行 变色, 显然处理方式是把其改为:红黑红

变色 处理:黑红红 ==> 红黑红

1.将F和V节点改为黑色

2.将P改为红色

3.将P设置为当前节点,进行后续处理

在这里插入图片描述

可以看到,将P设置为红色了,

如果P的父节点是黑色,那么无需做处理;

但如果P的父节点是红色,则违反红黑树性质了,所以需要将P设置为当前节点,继续插入操作, 作自平衡处理,直到整体平衡为止。

场景4.2:叔叔为黑色,父亲为红色,并且插在父亲的左节点

分为两种情况

  • LL 红色插入

叔叔为黑色,或者不存在(NIL)也是黑节点,并且节点的父亲节点是祖父节点的左子节点

注意:单纯从插入来看,叔叔节点非红即黑(NIL节点),否则破坏了红黑树性质5,此时路径会比其他路径多一个黑色节点。

在这里插入图片描述

场景4.2.1 LL型失衡

细分场景 1: 新插入节点,为其父节点的左子节点(LL红色情况), 插入后 就是LL 型失衡

在这里插入图片描述

自平衡处理:

1.变颜色:

将F设置为黑色,将P设置为红色

2.对F节点进行右旋

在这里插入图片描述

场景4.2.2 LR型失衡

细分场景 2: 新插入节点,为其父节点的右子节点(LR红色情况), 插入后 就是LR 型失衡

在这里插入图片描述

自平衡处理:

1.对F进行左旋

2.将F设置为当前节点,得到LL红色情况

3.按照LL红色情况处理(1.变色 2.右旋P节点)
在这里插入图片描述

情景4.3:叔叔为黑节点,父亲为红色,并且父亲节点是祖父节点的右子节点

在这里插入图片描述

情景4.3.1:RR型失衡

新插入节点,为其父节点的右子节点(RR红色情况)

在这里插入图片描述

自平衡处理:

1.变色:

将F设置为黑色,将P设置为红色

2.对P节点进行左旋

在这里插入图片描述

情景4.3.2:RL型失衡

新插入节点,为其父节点的左子节点(RL红色情况)

在这里插入图片描述

自平衡处理:

1.对F进行右旋

2.将F设置为当前节点,得到RR红色情况

3.按照RR红色情况处理(1.变色 2.左旋 P节点)

在这里插入图片描述

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RBT面试题:

问:有了二叉搜索树,为什么还需要平衡二叉树?

二叉搜索树容易退化成一条链

这时,查找的时间复杂度从O ( log n)也将退化成O ( N )

引入对左右子树高度差有限制的平衡二叉树 AVL,保证查找操作的最坏时间复杂度也为O ( log n)

问:有了平衡二叉树,为什么还需要红黑树?

AVL的左右子树高度差不能超过1,每次进行插入/删除操作时,几乎都需要通过旋转操作保持平衡

在频繁进行插入/删除的场景中,频繁的旋转操作使得AVL的性能大打折扣

红黑树通过牺牲严格的平衡,换取插入/删除时少量的旋转操作,

整体性能优于AVL

  • 红黑树插入时的不平衡,不超过两次旋转就可以解决;删除时的不平衡,不超过三次旋转就能解决

  • 红黑树的红黑规则,保证最坏的情况下,也能在O ( log n)时间内完成查找操作。

问:红黑树那几个原则,你还记得么?

可以按照括号里边的分类,记住 红黑树的几个原则:

  • 颜色属性)节点非黑即红

  • 根属性)根节点一定是黑色

  • 叶子属性)叶子节点(NIL)一定是黑色

  • 红色属性)每个红色节点的两个子节点,都为黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

  • (黑色属性)从任一节点到其每个叶子的所有路径,都包含相同数目的黑色节点。

问:红黑树写入操作 ,是如何找到它的父节点的?

红黑树的节点 TreeNode它就是继承Node结构,

先看看红黑树的节点结构

以HashMap中的红黑树的结构定义为例子:

  static class Node<K,V> implements Map.Entry<K,V> {
        final int hash;
        final K key;
        volatile V val;
        volatile Node<K,V> next;
        }


/**
 * Nodes for use in TreeBins
 */
static final class TreeNode<K,V> extends Node<K,V> {
    TreeNode<K,V> parent;  // red-black tree links
    TreeNode<K,V> left;
    TreeNode<K,V> right;
    TreeNode<K,V> prev;    // needed to unlink next upon deletion
    boolean red;

    TreeNode(int hash, K key, V val, Node<K,V> next,
             TreeNode<K,V> parent) {
        super(hash, key, val, next);
        this.parent = parent;
    }

TreeNode在Node基础上加了几个字段,分别指向父节点parent,然后指向左子节点left,还有指向右子节点的right,

然后还有表示颜色red属性

红黑树的插入操作:

首先是找到一个合适的插入点,就是找到插入节点的父节点,

由于红黑树 它又满足BST二叉查找树的 有序特性,这个找父节点的操作和二叉查找树是完全一致的。

二叉查找树,左子节点小于当前节点,右子节点大于当前节点,

然后每一次向下查找一层就可以排除掉一半的数据,查找的效率在log(N)

最终查找到nil节点或者 key一样的节点。

如果最终查找到 key一样的节点,进行更新操作。这个TreeNode.key 与当前 put.key 完全一致。这就不需要插入,替换value就可以了,父节点就是当前节点的父节点

如果最终查找到nil节点,进行插入操作。nil节点的父节点,就是当前节点的父节点,把插入的节点替换nil节点。然后进行红黑树的 平衡处理。

问:红黑树的有那些内部操作

变色

把一个红色的节点变成黑色,或者把一个黑色的节点变成红色,就是对这个节点的变色

旋转

与平衡二叉树的旋转操作类似。

红黑树与AVL树区别

1、调整平衡的实现机制不同

红黑树根据路径上黑色节点数目一致,来确定是否失衡,如果失衡,就通过变色和旋转来恢复

AVL根据树的平衡因子(所有节点的左右子树高度差的绝对值不超过1),来确定是否失衡,如果失衡,就通过旋转来恢复

2、红黑树的插入效率更高

红黑树是用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低,任何不平衡都会在三次旋转之内解决

红黑树并不追求“完全平衡”,它只要求部分地达到平衡要求,降低了对旋转的要求,从而提高了性能

而AVL是严格平衡树(高度平衡的二叉搜索树),因此在增加或者删除节点的时候,根据不同情况,旋转的次数比红黑树要多。

所以红黑树的插入效率更高

3、红黑树统计性能比AVL树更高

红黑树能够以O(log n) 的时间复杂度进行查询、插入、删除操作。

AVL树查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)

红黑树的算法时间复杂度和AVL相同,但统计性能比AVL树更高

4、适用性:AVL查找效率高

如果你的应用中,查询的次数远远大于插入和删除,那么选择AVL树,如果查询和插入删除次数几乎差不多,应选择红黑树

即,有时仅为了排序(建立-遍历-删除),不查找或查找次数很少,R-B树合算一些。

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参考文献:

https://blog.csdn.net/longsq602/article/details/114165028
https://www.jianshu.com/p/d7024b52858c
https://juejin.cn/post/6844903877188272142
https://blog.csdn.net/qq_50227688/article/details/114301326
https://blog.csdn.net/qq116165600/article/details/103361385
https://blog.csdn.net/falling_stars_/article/details/115574847
https://blog.csdn.net/u014454538/article/details/120120216
https://blog.csdn.net/u014454538/article/details/120120216
https://blog.csdn.net/jiang_wang01/article/details/113715033
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posted @ 2022-05-28 13:08  疯狂创客圈  阅读(22035)  评论(4编辑  收藏  举报