poj 1191 棋盘分割 (DFS+DP思想)

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棋盘分割

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Description

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行) 

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。 
均方差，其中平均值，x_i为第i块矩形棋盘的总分。 
请编程对给出的棋盘及n，求出O'的最小值。 

Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。 
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。 

Output

仅一个数，为O'（四舍五入精确到小数点后三位）。

Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633


思路:
根据题目给出的公式进行化简:

σ=sqrt(((x1-x)^2+(x2-x)^2+...+(xn-x)^2)/n),其中x为x1..xn的平均数.

所以σ^2=((x1-x)^2+(x2-x)^2+...+(xn-x)^2)/n

即n*σ^2=(x1-x)^2+(x2-x)^2+...+(xn-x)^2
             
=x1^2-2x*x1+x^2+x2^2-2x*x2+x^2+...+xn^2-2x*xn+x^2

             =x1^2+x2^2+...+xn^2-2x(x1+x2+...+xn)+n*x^2
　　　  
=x1^2+x2^2+...+xn^2-2x*n*x+n*x^2
 　　　 
=x1^2+x2^2+...+xn^2-n*x^2

即n*σ^2+n*x^2=x1^2+x2^2+...+xn^2.
n*σ^2+n*x^2中n和x都是一定的，所以只要x1^2+x2^2+...+xn^2最小则σ最小

关于快速计算 左上角为(x1, y1)，右下角为(x2, y2)的矩阵的大小：

实现代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<queue>
#define SIZE 8
#define INF 99999999
using namespace std;
int map[SIZE+1][SIZE+1]; //存所有矩形
int mark[16][SIZE+1][SIZE+1][SIZE+1][SIZE+1];
int sum[SIZE+1][SIZE+1];//sum中每一个位置存放的是左上角为(1,1)点与右下角为当前位置的矩形的所有元素的和，这里下标从1开始

int min(int a,int b){return a<b?a:b;}

//计算：左上角为(x1, y1)，右下角为(x2, y2)的矩阵平方
int powsum(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    int res;
    res=sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1];
    return res*res;
}

//深度搜索，计算最小平方和
int dfs(int deep,int x1,int y1,int x2,int y2)
{
    if(mark[deep][x1][y1][x2][y2]!=-1)
    {
        return mark[deep][x1][y1][x2][y2];  //已经计算过了的避免重复计算，也就是传说中的剪枝
    }
    else
    {
        if(deep==1||x1==x2||y1==y2)
        {
            return mark[deep][x1][y1][x2][y2]=powsum(x1,y1,x2,y2);  //当无法再切直接返回
        }
        else
        {
            int i,maks=INF;  //给maks初始化一个足够大的值
            for(i=x1;i<x2;i++)  //横切
            {
                maks=min(maks,min(dfs(deep-1,x1,y1,i,y2)+powsum(i+1,y1,x2,y2),dfs(deep-1,i+1,y1,x2,y2)+powsum(x1,y1,i,y2)));
            }
            for(i=y1;i<y2;i++)  //竖切
            {
                maks=min(maks,min(dfs(deep-1,x1,y1,x2,i)+powsum(x1,i+1,x2,y2),dfs(deep-1,x1,i+1,x2,y2)+powsum(x1,y1,x2,i)));
            }
            mark[deep][x1][y1][x2][y2]=maks;
            return maks;
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        int i,j;
        memset(map,0,sizeof(map));
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(i=1;i<=SIZE;i++)
        {
            for(j=1;j<=SIZE;j++)
            {
                scanf("%d",&map[i][j]);
                sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+map[i][j];  // 计算是左上角为(1,1)点与右下角（i，j）的矩形的所有元素的和
            }
        }
        memset(mark,-1,sizeof(mark));
        double res=sqrt((double)(dfs(n,1,1,SIZE,SIZE))/n-pow((double)(sum[SIZE][SIZE])/n,2.0));  //展开化简之后的公式
        printf("%.3lf\n",res);
    }
    return 0;
}