Math - Uva 11300 Spreading the Wealth
Spreading the Wealth #
Problem's Link
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Mean:
n个人围成一圈,每个人手里有Ai个金币,每个人可以给与他相邻的人一些金币,通过一系列的流转后,最后所有人的金币数相等。问整个过程最少需要流转多少金币?
analyse:
这是一道很有趣的数学题。
假设有4个人,按顺序编号1,2,3,4。假设1号给2号3枚金币,2号给1号5枚金币,这等价于2号给了1号2枚金币。
设:第i个人给了第i-1个人Xi枚金币(X1表示第1个人给第n个人X1枚金币),初始时每个人的金币数位Ai,最终每个人的金币数为M.
可得一下等式:
- A1-X1+X2=M
- A2-X2+X3=M
- A3-X3+X4=M
- A4-X4+X1=M
根据题意,我们最终要求的是:answer=|X1|+|X2|+|X3|+|X4|.
对上面的四个等式变形(用X1来表示其他等式):
- X1 = X1
- X2 = M-A1+X1 = X1+C1
- X3 = M-A2+X2 = X1+C1+C2
- X4 = M-A3+X3 = X1+C1+C2+C3
这儿的Ci=M-Ai,这个值是可以求出来的(看作是已知的)。
设D0=0,D1=C1,D2=C1+C2,D3=C1+C2+C3
再对上面的式子进行替换得到:
- X1 = X1+D0
- X2 = X1+D1
- X3 = X1+D2
- X4 = X1+D3
那么:
- answer = |X1|+|X2|+|X3|+|X4|
- = |X1+D0|+|X1+D1|+|X1+D2|+|X1+D3|
注意|a+b|这种形式,这在几何数学里表示的是数轴上a点到b点的距离。
D0,D1,D2,D3可以求出,现在的关键是如何求X1,求出X1后,X2,X3,X4都可以通过X1得出。
|X1+D0|+|X1+D1|+|X1+D2|+|X1+D3|这个式子对应的几何概念就是:数轴上有n个数,找一个数X1出来,使得X1到这n个数的距离之和最小。
到现在,问题就变得简单了,这个概念正是中位数的几何意义。
下面就是求出D[]数组,然后找到D[]的中位数,即X1,最后求出X2,X3,X4,累加即得answer.
Time complexity: O(N)
view code
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main{
public static void main(String[] argv){
Scanner in = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
while(in.hasNext()){
int n=in.nextInt();
int[] a=new int[n];
Long sum= Long.valueOf(0);
for(int i=0;i<n;++i){
a[i]=in.nextInt();
sum+=a[i];
}
int ave=(int)(sum/n);
int[] d=new int[n];
d[0]=0;
for(int i=1;i<n;++i){
d[i]=d[i-1]+ave-a[i];
}
Arrays.sort(d,0,n);
int mid=d[n/2];
Long ans=Long.valueOf(0);
for(int i=0;i<n;++i){
ans+=Math.abs(mid-d[i]);
}
System.out.println(ans);
}
}
}
作者:北岛知寒
出处:https://www.cnblogs.com/crazyacking/p/5046661.html
版权:本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。
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