2015 Multi-University Training Contest 1 - 10010 Y sequence

 Y sequence#

Problem's Link:  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5297
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Mean: 

 有连续数列A={1,2,3,4,5,6,7,8 .....}，将可以表示成a^b次方的数删除，a={1,2,3,4,5...},而2<=b<=r，删除后形成一个新的数列，求这个数列的第n项。

analyse:

很有趣的一道数论题。

对于给定的一个n，如果我们知道1~n中被删除的数字为k个，那么答案一定大于等于n+k，所以向后至少移动k个数。

但是n~n+k这一段中也可能含有被删除的数字，所以我们再求n~n+k这一段中被删除的数字的个数，假设为x1个，那么我们就得到了一个比x更精确的数字x1，即：我们要得到第n项，至少需要从n向后移动x1位。

但是移动x1位后同样还可能存在以上的问题，那么什么时候停止呢？答案是：当本次算的xi和上次算的xi相等时，就说明这个值是固定的了，也就是最终的精确值，代表第n项就是n+xi，也就是最终的答案。

有了这个理论基础后，我们来考虑如何求得1~n中有多少个数字能够表示成次幂形式。

解决这个问题的方法是反函数。幂的反函数是依然是幂函数，指数取导就行。

例：10以内能表示成a^2的数的个数为：pow(10,1/2) ; 100以内能表示成a^4的数的个数是：pow(100,1/4).

还有一个问题：在删除数的时候，a^6的数已经被a^2和a^3的数删过了，这样就造成了重复删除。

这儿就需要容斥原理来解决：只需要删质数次幂的数就行，而且还需要把质数的乘积（多删的）删除的数字加回来。

详情参考大牛博客：http://blog.csdn.net/firstlucker/article/details/46991885

 

Time complexity: O(N)

 

Source code: 

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

/* * this code is made by crazyacking * Verdict: Accepted * Submission Date: 2015-07-22-15.56 * Time: 0MS * Memory: 137KB */ #include <queue> #include <cstdio> #include <set> #include <string> #include <stack> #include <cmath> #include <climits> #include <map> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> #include <cstring> #define  LL long long #define  ULL unsigned long long using namespace std; long long t, n, r; const int p[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67}; vector<int> rongchi; void get_rongchi() {       rongchi.clear();       for( int i = 0; p[i] <= r; ++i )       {             int si = rongchi.size();             for( int j = 0; j < si; ++j )             {                   if( abs( p[i]*rongchi[j] ) <= 63 )                         rongchi.push_back( -p[i]*rongchi[j] );             }             rongchi.push_back( p[i] );       } }   long long cal( long long x ) {       if( x == 1 ) return 0;       long long ans = x;       for( int i = 0; i < rongchi.size(); ++i )       {             long long tmp = ( long long )( pow( x + 0.5 , 1.0 / abs( rongchi[i] ) ) ) - 1;             if( rongchi[i] < 0 ) ans += tmp;             else ans -= tmp;       }       return ans - 1; } long long solve() {       get_rongchi();       long long ans = n;       while( true )       {             long long tmp = cal( ans );             if( tmp == n )break;             ans += n - tmp;       }       return ans; }   int main() {       ios_base::sync_with_stdio( false );       cin.tie( 0 );       cin >> t;       while( t-- )       {             cin >> n >> r;             cout << solve() << endl;       }       return 0; } /*   */