组合数(Lucas定理) + 快速幂 --- HDU 5226 Tom and matrix

 Tom and matrix#

Problem's Link:   http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5226
#

---

 

Mean: 

题意很简单，略。

 

analyse:

直接可以用Lucas定理+快速幂水过的，但是我却作死的用了另一种方法。

方法一：Lucas定理+快速幂水过

方法二：首先问题可以转化为求(0,0)，(n,m)这个子矩阵的所有数之和。画个图容易得到一个做法，对于n<=m，答案就是2^0+2^1+...+2^m=2^(m+1)-1，对于n>m，答案由两部分构成，一部分是2^(m+1)-1，另一部分是sigma i:m+1->n f[i][m]，f[i][m]表示第i行前m列的数之和，f数组存在如下关系，f[i][m]=f[i-1][m]*2-C[i-1][m]，f[m][m]=2^m。还有另一种思路：第i列的所有数之和为C(i,i)+C(i+1,i)+...+C(n,i)=C(n+1,i+1)，于是答案就是sigma i:0->min(n,m) C(n+1,i+1)。

Lucas定理：由于题目给定的模是可变的质数，且质数可能很小，那么就不能直接用阶乘和阶乘的逆相乘了，需要用到Lucas定理，公式：C(n,m)%P=C(n/P,m/P)*C(n%P,m%P)，c(n,m)=0(n<m)。当然最终还是要预处理阶乘和阶乘的逆来得到答案。复杂度O(nlogP+nlogn)

Time complexity: O(n)

 

Source code: 

Lucas定理+快速幂 

/*
* this code is made by crazyacking
* Verdict: Accepted
* Submission Date: 2015-05-21-23.28
* Time: 0MS
* Memory: 137KB
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define  LL long long
#define  ULL unsigned long long
using namespace std;

const int maxn=100010;
struct cell
{
        int x,y;
        bool operator<(cell c) const
        {
                return x==c.x?(y<c.y):(x<c.x);
        }
}p[2];
LL mod;
LL Pow(LL a,LL b)
{
    LL ret=1;
    a%=mod;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret%mod;
}
namespace lucas
{
        LL A[maxn],inv[maxn];
        void init()
        {
            A[0]=1,A[1]=1;
            inv[1]=1;inv[0]=1;
            for(int i=2;i<maxn;i++)
            {A[i]=A[i-1]*(LL)i%mod;inv[i]=Pow(A[i],mod-2);}
        }
        LL Lucas(LL a,LL b)
        {

            if(a<b) return 0;
            if(a<mod&&b<mod) return (A[a]*inv[b]%mod)*inv[a-b]%mod;
            return Lucas(a/mod,b/mod)*Lucas(a%mod,b%mod)%mod;
        }
}
using namespace lucas;

int main()
{
        ios_base::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(0);
        while(cin>>p[0].x>>p[0].y>>p[1].x>>p[1].y>>mod)
        {
                if(p[0].y>p[0].x&&p[1].y>p[1].x&&p[0].y>p[1].x) {printf("0\n");continue;}
                init();
                sort(p,p+2);
                if(!(p[0].x<=p[1].x && p[0].y<=p[1].y))
                {
                        int x1=p[0].x,y1=p[0].y,x2=p[1].x,y2=p[1].y;
                        p[0].x=x1,p[0].y=y2,p[1].x=x2,p[1].y=y1;
                }
                LL sta=p[0].x,en=p[1].x,h=p[0].y,ans=0;
                while(h<=p[1].y && sta<=en )
                {
                        if(sta<h) sta=h;
                        ans=(ans+Lucas(en+1,h+1)-Lucas(sta,h+1)+mod)%mod;
                        h++;
                }
                printf("%lld\n",ans);

        }
        return 0;
}
/*

*/

方法二：

/*
* this code is made by crazyacking
* Verdict: Accepted
* Submission Date: 2015-05-21-02.58
* Time: 0MS
* Memory: 137KB
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define  LL long long
#define  ULL unsigned long long
using namespace std;
struct cell
{
        int x,y;
        bool operator<(cell c) const
        {
                return x==c.x?(y<c.y):(x<c.x);
        }
}p[2];
LL mod;
LL inv[101000],A[101000];
inline LL Pow(LL a,LL b)
{
    LL ret=1;
    a%=mod;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return (ret-1)%mod;
}

void init()
{
    A[0]=1,A[1]=1;
    inv[1]=1;inv[0]=1;
    for(int i=2;i<101000;i++)
    {A[i]=A[i-1]*(LL)i%mod;inv[i]=Pow(A[i],mod-2);}
}
LL Lucas(LL a,LL b)
{
    if(a<b) return 0;
    if(a<mod&&b<mod) return (A[a]*inv[b]%mod)*inv[a-b]%mod;
    return Lucas(a/mod,b/mod)*Lucas(a%mod,b%mod)%mod;
}

inline LL Pow(LL b)
{
        b=b+1;
        if(b<0) return 0;
    LL a=2;
    LL ret=1;
    a%=mod;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return (ret-1)%mod;
}


inline int calc_Matrix(int x,int y)
{
        if(x<0||y<0) return 0;
        if(x<=y)
                return Pow(x);
        else
        {
                LL sum1=Pow(y);
                LL tmp=Pow(y)-Pow(y-1);
                LL sum2=0;
                for(int i=y+1;i<=x;++i)
                {
                      tmp=tmp*2-(int)Lucas((LL)i-1,(LL)y);
                      tmp%=mod;
                      sum2+=tmp;
                      sum2%=mod;
                }
                return (sum1+sum2)%mod;
        }
}
int main()
{
        ios_base::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(0);
        while(cin>>p[0].x>>p[0].y>>p[1].x>>p[1].y>>mod)
        {
                if(p[0].y>p[0].x&&p[1].y>p[1].x&&p[0].y>p[1].x) {printf("0\n");continue;}
                init();
                sort(p,p+2);
                if(!(p[0].x<=p[1].x && p[0].y<=p[1].y))
                {
                        int x1=p[0].x,y1=p[0].y,x2=p[1].x,y2=p[1].y;
                        p[0].x=x1,p[0].y=y2,p[1].x=x2,p[1].y=y1;
                }
                cout<<(calc_Matrix(p[1].x,p[1].y)-calc_Matrix(p[0].x-1,p[1].y)-calc_Matrix(p[1].x,p[0].y-1)+calc_Matrix(p[0].x-1,p[0].y-1))%mod<<endl;
        }
        return 0;
}
/*

*/