数论 - 整除问题 --- 整数集合中找出3的最大倍数

#

Mean:

题目描述：给一个包含非负整数的数组(长度为n)，找出由这些数字组成的最大的3的倍数，没有的话则输出impossible。

analyse:

首先想到的就是直接暴力，这是最蠢的方法，数据一大的话，必会TLE。

直接用蛮力的话，生成所有的组合，为 2^n个，对每个数字再进行比较判断，需要 O(n)的时间，因为n可能会比较大，需要每个位的比较。
总的时间复杂度为O(n * 2^n).

那么到底要怎么做呢？

首先我们来了解几个数学知识：

1)一个数n对m取余的余数为a1，b为n的每一位数字的和，那么有：n%m=b%m=a1。

　　例如，如果对于151和它的各位之和7，对于3的余数都为1。

2)一个数是3的倍数，则该数字各位总和为3的倍数。
　　例如，让我们考虑8760，它是3的倍数，因为数字总和为8 + 7 + 6 + 0 = 21，这是3的倍数。

　　推论：一个数是3的倍数，那么构成他的数字的排列为一个新的数字，这个数字仍然是3的倍数。

Time complexity：O(nlongn)

Source code：

暴力代码：

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

// Memory   Time
// 1347K     0MS
// by : Snarl_jsb
// 2014-09-10-09.28
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<string>
#include<climits>
#include<cmath>
#define N 100
#define MAXN 100
#define LL long long
using namespace std;
 
long long n,summ;
long long a[N];
bool cmp(LL a,LL b)
{
    return a>b;
}
 
LL ans[N];
LL idx;
LL Max;
 
void work(int* b,int n)
{
    LL sum1=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        sum1+=a[b[i]];
    }
    if(sum1%3==0&&sum1>Max)
    {
        Max=sum1;
        idx=n;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            ans[i]=a[b[i]];
        }
    }
}
 
void _gen_comb(int* a,int s,int e,int m,int& cnt,int* temp){
    int i;
    if (!m)
        work(temp,cnt);
    else
        for (i=s;i<=e-m+1;i++){
            temp[cnt++]=a[i];
            _gen_comb(a,i+1,e,m-1,cnt,temp);
            cnt--;
        }
}
 
void gen_comb(int n,int m)
{
    int a[MAXN],temp[MAXN],cnt=0,i;
    for (i=0;i<n;i++)
        a[i]=i+1;
    _gen_comb(a,0,n-1,m,cnt,temp);
}
 
int main()
{
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.cpp","r",stdin);
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.cpp","w",stdout);
    while(~scanf("%I64d",&n))
    {
        LL sum=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%I64d",a+i);
            sum+=a[i];
        }
        summ=sum;
//        cout<<sum<<endl;
        sort(a+1,a+1+n,cmp);
        if(!(sum%3))
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                printf("%I64d",a[i]);
            }
            puts("");
            continue;
        }
        bool flag=0;
        for(int i=n;i>1;--i)
        {
            sum-=a[n];
            if(!(sum%3))
            {
                for(int j=1;j<i;j++)
                    printf("%I64d",a[j]);
                puts("");
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(flag) continue;
        Max=LONG_LONG_MIN;
        for(int i=n;i>=1;--i)
        {
            gen_comb(n,i);
        }
        if(sizeof(ans)==0)
        {
            puts("impossible\n");
            continue;
        }
        sort(ans,ans+idx,cmp);
        for(int i=0;i<idx;++i)
        {
            printf("%I64d",ans[i]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

数学方法：

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

// Memory   Time
// 1347K     0MS
// by : Snarl_jsb
// 2014-09-10-11.37
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<string>
#include<climits>
#include<cmath>
#define N 10000
#define LL long long
using namespace std;
 
LL n;
LL a[N];
LL ans[N];
LL n1,n2,n3;
LL q1[N],q2[N],q3[N];
 
bool cmp(LL a,LL b)
{
    return a>b;
}
 
int main()
{
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.cpp","r",stdin);
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.cpp","w",stdout);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        n1=n2=n3=0;
        LL sum=0;
        for(LL i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            sum+=a[i];
            if(a[i]%3==0)
            {
                q1[++n1]=a[i];
            }
            else if(a[i]%3==1)
                q2[++n2]=a[i];
            else
                q3[++n3]=a[i];
        }
        if(sum%3==0)
        {
            sort(a+1,a+1+n);
            for(int i=n;i>=1;--i)
            {
                printf("%d",a[i]);
            }
            puts("");
            continue;
        }
        sort(q1+1,q1+1+n1,cmp);
        sort(q2+1,q2+1+n2,cmp);
        sort(q3+1,q3+1+n3,cmp);
        if(sum%3==1)
        {
            if(n2>=1)
            {
                n2--;
            }
            else if(n3>=2)
            {
                n3-=2;
            }
            else
            {
                puts("impossible\n");
                continue;
            }
        }
        else if(sum%3==2)
        {
            if(n1>=2)
            {
                n1-=2;
            }
            else if(n2>=1)
            {
                n2--;
            }
            else
            {
                puts("impossible\n");
                continue;
            }
        }
        LL idx=0;
        for(int i=1;i<=n1;++i)
        {
            ans[++idx]=q1[i];
        }
        for(int i=1;i<=n2;++i)
        {
            ans[++idx]=q2[i];
        }
        for(int i=1;i<=n3;++i)
        {
            ans[++idx]=q3[i];
        }
        sort(ans+1,ans+1+idx,cmp);
        for(int i=1;i<=idx;i++)
        {
            printf("%I64d",ans[i]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}