数论 - n元线性同余方程的解法

 

note:n元线性同余方程因其编程的特殊性，一般在acm中用的很少，这里只是出于兴趣学了一下

n元线性同余方程的概念: 

 形如：(a1*x1+a2*x2+....+an*xn)%m=b%m           ..................(1)

当然也有很多变形，例如：a1*x1+a2*x2+...+an*xn+m*x(n+1)=b.这两个都是等价的。

判断是否有解:

 解线性同余方程，我们首先要来判断方程是否有解，方程有解的充要条件是：d%b==0.其中d=gcd(a1,a2,...an);

解n元线性同余方程，我们是通过将其转化为n元不定方程来解的。

a1*x1+a2*x2+...+an*xn+m*x(n+1)=b                 ...................(2)

不难证明(2)和(1)是完全等价的，具体证明也很简单，这里就不再证明。

(2)有解的充要条件是：d1%b==0.其中d1=gcd(a1,a2,....an,m).

定理：当(1)有解时，共有d1*m^(n-1)个不同的解。

定理：当(1)

 

解方程：

 设d1=gcd(a1,a2,....an,m),且有d1%b==0.

利用同余式的性质：