数论 --- 斐波纳挈数列公式的变形

Fibonacci#

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Problem Description

2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

Input

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

Output

输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

Sample Input

Sample Output

Source

Happy 2007

Mean:

略

analyse:

这题需要用到fibonacci数列的公式：F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

在这个公式中后半部分： - [(1-√5)/2]^n 的误差在0~1之间，但对于n比较大时，他的误差就越小，所以一般情况可以忽略；

公式就变为了：F(n)=(1/√5)*[(1+√5)/2]^n] ;

这题要我们输出前四位，直接用公式是肯定会超的，所以要变形：

由于m^n=10^(n*log10(m));
先将n*log10(m)算出来，取其小数部分，再10的乘方，得整数部分为最m^n第一位数，继续乘10直到为4为数为止

Time complexity：O(n)

Source code：

//Memory   Time
// 1347K   0MS
// by : Snarl_jsb
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<string>
#include<climits>
#include<cmath>
#define MAX 1100
#define LL long long
using namespace std;
 
int main()
{
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.txt","r",stdin);
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.txt","w",stdout);
    int a[25];
    a[0]=0,a[1]=1;
    for(int i=2;i<=21;i++)
        a[i]=a[i-1]+a[i-2];
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n<=20)
        {
            printf("%d\n",a[n]);
            continue;
        }
       double x=sqrt(5*1.0); double y=log10(1/x);
       double z=n*log10(((x+1)/2));double p=y+z;
       double q=p-(int)p;double xx=pow(double(10),q);
       for(int i=1;;++i)
       {
         xx*=10;
         if(xx>10000)
             break;
       }
       printf("%d\n",((int)xx)/10);
    }
 
    return 0;
}