计算几何：凸包学习笔记 --- Graham 扫描法

凸包

(只针对二维平面内的凸包)

一、定义

简单的说,在一个二维平面内有n个点的集合S，现在要你选择一个点集C，C中的点构成一个凸多边形G，使得S集合的所有点要么在G内，要么在G上，并且保证这个凸多边形的面积最小，我们要求的就是这个C集合。

二、算法

求凸包的算法很多，常用的有两种：

1. Graham扫描法，运行时间为O(nlgn)。

2. Jarvis步进法，运行时间为O(nh),h为凸包中的顶点数。

这里主要讨论第一种算法:Graham扫描法

Graham扫描法：

基本思想：使用一个栈来对所有点逐一判断，把不符合条件的点筛出去。

操作：输入集合Q中的每一个点都被压入栈一次，非CH（Q）(表示Q的凸包)中的顶点的点最终将被弹出堆栈，当算法终止时，堆栈S中仅包含CH(Q)中的顶点，其顺序为个各顶点在边界上出现的逆时针方向排列的顺序。

首先，找一个凸包上的点，把这个点放到第一个点的位置P0。然后把P1~Pm 按照P0Pi的方向排序，可以用矢量积(叉积)判定。

判定过程：

做好了预处理后开始对堆栈中的点<p3,p4,...,pm>中的每一个点进行迭代，在第7到8行的while循环把发现不是凸包中的顶点的点从堆栈中移去。（原理：沿逆时针方向通过凸包时，在每个顶点处应该向左转。因此，while循环每次发现在一个顶点处没有向左转时，就把该顶点从堆栈中弹出。）当算法向点pi推进、在已经弹出所有非左转的顶点后，就把pi压入堆栈中。

整个算法过程如图所示：