约瑟夫环问题详解
很久以前，有个叫Josephus的老头脑袋被门挤了，提出了这样一个奇葩的问题：
已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列
这就是著名的约瑟夫环问题，这个问题曾经风靡一时，今天我们就来探讨一下这个问题。
这个算法并不难，都是纯模拟就能实现的。
思路一：
用两个数组，mark[10000]和num[10000],mark这个数组用来标记是否出队，num这个用来存值，然后每次到循环节点的时候就判断mark是否为0(未出队)，为0则输出num[i]，并标记mark[i]=1，直到所有的num都出队。
附上C++代码：
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cctype> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; char num[1000]; bool mark[1000]; int main() { while(true) { memset(mark,0,sizeof(mark)); int n; int k,m; int i,j; int del=k-1; cin>>n>>k>>m; for(i=0;i<n;++i) { cin>>num[i]; } int cnt=n; for(i=cnt;i>1;--i) { for(int j=1;j<=m;) { del=(del+1)%n; if(mark[del]==0) j++; } cout<<num[del]<<" "; mark[del]=1; } for(i=0;i<n;++i) { if(mark[i]==0) break; } cout<<endl<<"The final winner is:"<<num[i]<<endl; } return 0; }
思路二：
用一个数组就可，每次到了循环节点了就将num[i]输出，然后将后面的值往前移动一位，直到所有的节点出列。
虽然说这种方法比第一种方法所用的内存有所优化，但时间上却增加了好多，这也体现了程序设计中用空间来换时间的思想。
附上代码：
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cctype> #include<queue> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; char num[1000]; int main() { while(true) { int n; int k,m; int i,j; cin>>n>>k>>m; int del=k; for(i=0;i<n;++i) { cin>>num[i]; } int cnt=n; for(i=cnt;i!=1;--i) { del=(del+m-1)%i; cout<<num[del]<<" "; for(j=del;j<=i-2;++j) { num[j]=num[j+1]; } } cout<<endl<<"The final winner is:"<<num[0]<<endl; } return 0; }
思路三：
也就是书上说的用循环链表，因为整个过程都是一个完整的环，所以用循环链表是一个不错的选择，但是就我个人来说我很不喜欢用链表，因为现在的程序设计题目中一般都是卡时间，基本上卡内存的很少，所以链表的优势根本体现不出来，当然方法还是要掌握的.
思路：构建一个循环链表，每个结点的编号为0, 1, ...... n-1。每次从当前位置向前移动m-1步，然后删除这个结点。最后剩下的结点就是胜利者。给出两种方法实现，一种是自定义链表操作，另一种用是STL库的单链表。不难发现，用STL库可以提高编写速度。
创建的循环链表的结构图：
解决约瑟夫环问题的过程：
附上我的代码：(好久没写指针，感觉有点生疏了，挣扎了半天才弄出来)
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cctype> #include<queue> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; struct Node { char num; Node *next; }; Node *head,*p1,*p2; void Make_Linklist(int n)//构造循环链表 { int i,j; head=p1=(Node *)malloc(sizeof(Node));//开辟一段大小为sizeof(Node)的空间，并将地址给p1和head cin>>(*p1).num; (*head).num=(*p1).num; for(i=2;i<=n;i++) { //p2用来开辟结点，p1指向最后一个结点，对所指的内容赋值前必须先对指针分配内存 p2=(Node*)malloc(sizeof(Node)); //Node 新的内存空间，并把地址给p2 cin>>(*p2).num; p1->next=p2; p1=p1->next; } p1->next=head;//将带链表首尾连起来生成循环链表 } void Josephus(int n,int k,int m) { int cnt=0; int i,j; if(n==1) { cout<<(*p1).num; } else { // for(i=0;i<k;i++)//移动到第k个位置，从第k个位置开始 // { // head->next=head->next->next; // } while(cnt<n-1) { for(i=1;i<=m-2;i++)//找到要出队的上一个head { head = head->next; } Node *temp; temp=head->next; printf("%c ",(*temp).num); head->next = head->next->next;//通过将指针指向移至下一个，来删除该节点 head = head->next; cnt++; } cout<<endl<<"The winner is:"<<(*head).num<<endl; } } int main() { while(true) { int n,k,m; cin>>n>>k>>m; Make_Linklist(n); Josephus(n,k,m); } return 0; }
方法二：数学推导（这个有一定的难度，看了好久的博客才看懂）
推导： O (0+5)%2 = 0 o O (0+5)%2 = 1 O o o (1+5)%3 = 0 o O o o (0+5)%4 = 1 o O o o o (1+5)%5 = 1 O o o o o o (1+5)%6 = 0 o o o o o O o (0+5)%7 = 5 o o O o o o o o (5+5)%8 = 2 o o o o o o o O o (2+5)%9 = 7
前面的字母代表当前有多少个节点，后面的算式代表当前删除的节点在重映射后的位置。
考察约瑟夫环的变化过程，当第k个节点存在的时候，序列理应如此：1,2,3,4,5,6,7,8,9
将元素左移3次，得到3,4,5,6,7,8,9,1,2
接着删除第一个，得到4,5,6,7,8,9,1,2
继续左移3次，得到6,7,8,9,1,2,4,5
删除第一个：7,8,9,1,2,4,5
左移：9,1,2,4,5,7,8
删除：1,2,4,5,7,8
左移：4,5,7,8,1,2
删除：5,7,8,1,2
左移：8,1,2,5,7
删除：1,2,5,7
左移：5,7,1,2
删除：7,1,2
左移：2,7,1
删除：7,1
左移：7,1
删除：1
按照这个手法，不断移动并删除，元素最终会减少到1。检查某个点何时被删除的测试也可以如此进行，不断左移，排在第一个的元素就是被删除的。
因此，思考逆过程，从1个元素开始，每个元素就应该是右移k位，不断右移，最终就能找回原始的约瑟夫环的位置：
1元素：1<------------------>1， (1+3)%1 eq 1
2元素：1,2<---------------->7,1， (1+3)%2 eq 2
3元素：1,2,3<-------------->7,1,2， (2+3)%3 eq 2
4元素：1,2,3,4<------------>1,2,5,7， (2+3)%4 eq 1
5元素：1,2,3,4,5<---------->5,7,8,1,2， (1+3)%5 eq 4
6元素：1,2,3,4,5,6<-------->1,2,4,5,7,8， (4+3)%6 eq 1
7元素：1,2,3,4,5,6,7<------>7,8,9,1,2,4,5， (1+3)%7 eq 4
8元素：1,2,3,4,5,6,7,8<---->4,5,6,7,8,9,1,2， (4+3)%8 eq 7
9元素：1,2,3,4,5,6,7,8,9<-->1,2,3,4,5,6,7,8,9，(7+3)%9 eq 1
而做这个事情的，就是(num+k)%line_length。
另外还有双向约瑟夫环问题，比这个要复杂一些，在这里就不展开了。
整理了一上午，终于弄好了，不过还是很值得的.
