完全背包详解

写在前面

背包问题是动态规划里面很重要的一部分，彻底理解各种背包问题，对动态规划的后续学习有很大的帮助.

更全的背包问题，可参看《背包九讲》.

学会了0-1背包后，多重背包、完全背包就比较容易理解.

一.什么是“完全背包”？

有这样一个问题：

　　在你面前放着n种宝石，每种宝石重量为wi，价值为vi，数量无限；你有一个最多可以放m重量的背包。现在你想在不超重的情况下，是你带走的宝石价值最大，问最大价值是多少？

二.如何做？

我们来看一道题，链接.

题目意思：你有一个空间为W的背包，在你前面放着n种石头，每种石头的价值为vi，体积为wi，数量无限.问：将背包装满，至少需要多少价值的石头？

我们从第一种物品开始取，for(i=1 to n).

设：dp[j]表示前i种物品，取得重量为j的石头时，需要的石头的最小价值.初始时dp[0]=0,其他为无穷大.

那么：dp[j]=min(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]).

即：

for(int i=0; i<=m; ++i)
      dp[i]=INF;
dp[0]=0;
for(int i=0; i<n; ++i)
{
      for(int j=w[i]; j<=m; ++j)
      {
            if(dp[j]>dp[j-w[i]]+v[i])
                  dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i];
      }
}

注意：这儿的内循环是顺序！而0-1背包的内循环是逆序.

为什么？

我们在做0-1背包，计算dp[i][j]的时候，需要用到前面的值，而这个值是前i-1个物品的值（相当于更新前i-1个物品的值）.

而在做完全背包，计算dp[j]时，我们需要更新的是当前状态，也就是前i个物品的值.(也就是说：用前i-1个的值和当前值比较，更新当前值).

代码：（跟着代码计算一遍即可理解）

/*
* this code is made by crazyacking
* Verdict: Accepted
* Submission Date: 2013-10-29-10.19
* Time: 0MS
* Memory: 137KB
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
using namespace std;
typedef long long(LL);
typedef unsigned long long(ULL);
const double eps(1e-8);

const int MAXN=510;
const int MAXM=10010;
const int INF=(int)1e9+7;
int dp[MAXM];
int w[MAXN],v[MAXN];
int main()
{
      ios_base::sync_with_stdio(false);
      cin.tie(0);
      int t;
      cin>>t;
      while(t--)
      {
            int m,v1,v2;
            cin>>v1>>v2;
            m=v2-v1;
            int n;
            cin>>n;
            for(int i=0;i<n;++i)
            {
                  cin>>v[i]>>w[i];
            }
            for(int i=0;i<=m;++i)
                  dp[i]=INF;
            dp[0]=0;
            for(int i=0;i<n;++i)
            {
                  for(int j=w[i];j<=m;++j)
                  {
                        if(dp[j]>dp[j-w[i]]+v[i])
                              dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i];
                  }
            }
            if(dp[m]==INF)
                  cout<<"This is impossible."<<endl;
            else
                  cout<<"The minimum amount of money in the piggy-bank is "<<dp[m]<<"."<<endl;
      }
      return 0;
}
/*

*/