一个数的因子有几个

hdoj 1299 Diophantus of Alexandria

再次感叹自己的数学很悲剧。。。。转载地址http://hi.baidu.com/fbyz/blog/item/c8e23e889a4bce91a5c27245.html

x 、y、n都是正整数，并且 显然，x >= n ， y >= n ，现在假设 y = n +k (k为正整数) ，那么带入公式，可以得出 x = (n*(n+k))/k = n*n/k + n; 由于x 是正整数，现在的关键问题就是要求出 n*n/ k 有多少组正整数的可能，显然，所要求的就是 n*n 因子的个数// 问题已经非常接近答案了，但是最后还有一个问题，n<= 10^9 ， 那么n*n <= 10^18 ,对于一个这么大的数字怎样才能求出它因子的个数呢？

命题1： 一个正整数 n 可以用素因子唯一表示为 p1^r1 * p2^r2 * ... pk^rk (其中 pi 为素数) , 那么这个数的因子的个数就是，(r1+1)*(r2+1)*...*(rk+1).

如果一个数字 n = p1^r1 * p2^r2 * ... pk^rk ，那么 n*n = p1^r1 * p2^r2 * ... pk^rk * p1^r1 * p2^r2 * ... pk^rk ，它的因子的个数就是 (2*r1+1)*(2*r2+1)*...*(2*rk+1).

这个问题就转化成了求 n <= 10^9 的素因子的问题，只需要先筛选出 sqrt(10^9) 内的素数，然后用n去试除 sqrt(n) 中的每一个即可，当然，n可能会有大于sqrt(n) 的因子呶//. 只试到 sqrt(n)，怎么找出所有的素因子呢，不妨想一想，如果n有大于sqrt(n) 的素因子，它会有几个，又是多少呢？ //.呵呵，很聪明的吧，先小自恋一下

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const int maxn = 50000;
int prime[10000] = { 2, 3, 5 };
int len;

int solve( int n ) {
	int i, j, ans, r, m, s;
	m = n;
	ans = 1;
	s = sqrt( (double)n );
	for( i=0; i<len; ++i ) {
		if( prime[i] > s+1 ) break;
		if( n % prime[i] == 0 ) {
			r = 0;
			while( m % prime[i] == 0 ) ++r, m/=prime[i];
			ans *= (2*r + 1);
		}
	}
	if( m > 1 ) ans *= 3;
	return (ans+1)/2;
}

void creatPrime() {
	int i, j, dis = 2;
	bool flag;
	len = 3;
	for( i=7; i<maxn; i+=dis ) {
		dis = 6 - dis;
		flag = true;
		for( j=0; prime[j]*prime[j]<=i; ++j ) {
			if( i % prime[j] == 0 ) {
				flag = false;
				break;
			}
		}
		if( flag ) prime[len++] = i;
	}
}


int main() {
//	freopen( "c:/aaa.txt", "r", stdin );
	int T, ca, n;
	creatPrime();
	scanf( "%d", &T );
	for( ca=1; ca<=T; ++ca ) {
		printf( "Scenario #%d:\n", ca );
		scanf( "%d", &n );
		printf( "%d\n\n", solve(n) );
	}
	return 0;
}