P1044 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即poppop（从栈顶弹出一个元素）和pushpush（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，1,2,...,n1,2,...,n（图示为1到3的情况），栈AA的深度大于nn。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的pushpush操作）

2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的poppop操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3123生成序列2 3 1231的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的nn，计算并输出由操作数序列1,2,…,n1,2,…,n经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件只含一个整数n(1≤n≤18)n(1≤n≤18)

 

输出格式：

 

输出文件只有11行，即可能输出序列的总数目

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

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输出样例#1： 复制

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看到大家的题解都写到了卡特兰数，但是没有细细的讲讲这跟本题有什么关系

本题的描述十分简单。n个数依次进栈，可随机出栈。求有几种可能。

dfs可以解，但是递推仿佛好像如同看上去貌似更简单一些。

解释一下原理：

建立数组f。f[i]表示i个数的全部可能性。

f[0] = 1, f[1] = 1; //当然只有一个

设 x 为当前出栈序列的最后一个，则x有n种取值

由于x是最后一个出栈的，所以可以将已经出栈的数分成两部分

1. 比x小

2. 比x大

比x小的数有x-1个，所以这些数的全部出栈可能为f[x-1]

比x大的数有n-x个，所以这些数的全部出栈可能为f[n-x]

这两部分互相影响，所以一个x的取值能够得到的所有可能性为f[x-1] * f[n-x]

另外，由于x有n个取值，所以

ans = f[0]*f[n-1] + f[1]*f[n-2] + ... + f[n-1]*f[0];

这，就是传说中的卡特兰数

上代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ktl[30];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    ktl[0]=1;
    ktl[1]=1;//别忘了赋初值 （可能是应为本人经常忘，有点神经敏感了) 
    for(int i=2;i<=n;i++)              
        for(int j=0;j<i;j++)
            ktl[i]+=ktl[j]*ktl[i-j-1];
    printf("%d",ktl[n]);
}

//解析部分来自于: Qi_XingZhi 

//鸣谢