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数论函数的级数 在此主要介绍狄利克雷级数和贝尔级数。 狄利克雷级数 狄利克雷级数是定义在任意数论函数上的一种级数，对于数论函数 \(f\) ，我们定义它的狄利克雷级数为： \[ F(z)=\sum_{k\ge1 }f(k)k^{-z}=\sum_{k\ge 1}\frac{f(k)}{k^{z}} 阅读全文
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什么是二次剩余 对于一个奇素数 \(p\)，和一个整数 \(n\in [0,p)\)，如果同余方程 \(x^2\equiv n\pmod p\) 有解，那么称 \(n\) 是 \(p\) 的一个二次剩余。 关于二次剩余，专门有一个关于它的“勒让德记号”： \[ \left(\frac a p\rig 阅读全文
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# 题目 定义数列 $\{g_n\}$ ： $$ g_n= \begin{cases} a&n=0\\ b&n=1\\ 3g_{n-1}-g_{n-2}&n>1 \end{cases} $$ 对于 $k\in \mathbb N,n\in \mathbb Z$ ，定义 $f_{n,k}$ 为： $$ 阅读全文
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题目 点这里看题目。 分析 很有意思的题目！！！ 简单分析可以发现 a 等价于二进制中有偶数个 1 ， b 等价于二进制中有奇数个 1 。 这个部分可以直接考虑自顶向下的确定某一位为 a 或 b 的过程。 设 \(n\) 为给定的 " 字符串 " 的长度，而 \(N\) 为输入的数，下面可以考虑 6 阅读全文
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题目 点这里看题目。 分析 放在 T3 但明明还没有 T1 难。 由于整个问题只有查询，并且各个岛屿都是独立的，所以显然可以拆成前缀进行询问。 前缀的话就比较自由了。考虑已有的一个岛屿集，我们分析一下询问在干什么： 如果某个岛屿 \((a,b)\) 满足 \(b>d\) ，那么对于所有这样的岛屿， 阅读全文
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题目 点这里看题目。 分析 这里有一个很重要的转化——如果某一列已经满了，我们仍然认为它可以 " 装 " 人，只不过没有效果而已。 对于某个操作序列，我们现在可以只看有效的操作。那么有 \(p\) 列已满的情况下，选出 \(n-p\) 中某一列概率为： \[ \sum_{k=0}^{+\infty} 阅读全文
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题目 点这里看题目。 分析 不妨设 \(P=\sum_i p_i\) 。 简单的情况是，如果我们去掉第一次为目标状态的限制，那么可以设 \(g_n\) 为操作 \(n\) 次后达成目标状态的概率，就得到了一个很好计算的东西。不难发现这其实就是限制了按钮被操作次数，可以直接得出其指数型生成函数： \[ 阅读全文
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题目 点这里看题目。 分析 这道题就离离离离离谱 首先不难发现 \(f_G(u,x)\) 实际上只和到达 \(u\) 的奇偶最短路长度相关。 那么很快就导出一种特例——即对于某个点，存在两种奇偶性的最短路的情况，可以发现此时 \(G\) 是二分图。那么我们只需要考虑一种最短路，因此可以直接建立最短路 阅读全文
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题目 点这里看题目。 分析 看见大家都写数位 DP ，可是我就是不会数位 DP 。 为了方便描述，不妨设 \(m\) 为进制，在这个问题中 \(m=10\) 。 类似于数位 DP ，我们可以限制当前的数在前 \(i\) 位与 \(X\) 相同，且在第 \(i+1\) 位比 \(X\) 小，那么在更低 阅读全文
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题目 点这里看题目。 分析 可以发现比赛结束必然对应着其中一组的牌打完了。由于打牌是一组一组交错着的，所以必然是牌少的那一组先打完，如果牌相同就是 \(t_1\) 那一组先打完。 为了方便，我们就记先打完的那一组为 \(A\) ，后打完的为 \(B\) 。 接着，根据每次打出牌的机器人的组，我们可以 阅读全文