数学杂谈 #??

高考里面有很多“极值点偏移”的问题，实际上是给定一个函数 \(f(x)\)，考察以 \(f(x)=a\) 的若干根为变元的函数的取值范围的问题。

以函数 \(f(x)=x-\ln(x+1)\) 为例。当 \(t>0\) 时，\(f(x)=t\) 有两个根 \(x_1\) 和 \(x_2\)，我们考察 \(x_1+x_2\)。

我们尝试用下面这个曲线去拟合 \(y=f(x)\) 这条曲线。

\[\Gamma_{n,m,k}(x,y)=A_{n}(y)x^2+B_{m}(y)x+C_{k}(y)=0 \]

其中 \(A_n(y)\) 为 \(n\) 次多项式，\(B_m(y),C_k(y)\) 同理。

在最理想的情况下，应该有：

\[\Gamma_{n,m,k}[x,f(x)]=0 \]

但是这样方程过于抽象。将 \(\Gamma_{n,m,k}[x,f(x)]\) 展开成泰勒级数，并且做低精度的近似：

\[\Gamma_{n,m,k}[x,f(x)]\equiv 0\pmod {x^r} \]

注意到，\(A,B,C\) 总共包含 \(n+m+k+3\) 个变元，而泰勒级数中每一项系数都产生了一个方程，即有 \(r\) 条方程，并且每一条都是线性的。因为我们要求非平凡解，所以不能将系数完全定死，于是 \(r\le n+m+k+2\)。

当我们进行估计的时候，会产生：

\[\begin{aligned} x_1+x_2&\sim \frac{B_m(y)}{A_n(y)}\\ x_1x_2&\sim \frac{C_k(y)}{A_n(k)} \end{aligned} \]

注意到这样的事实：\(x_1+x_2=O(m),-x_1x_2=O(m)\)。

因此理论上的较优拟合应该满足 \(m=k=n+1\)，此时 \(r\) 可以取到 \(3n+4\)。

Remark.

更有意思的事实是——当 \(m,k\) 取得太大的时候，\(y>0\) 的区域内曲线会闭合。为什么？

用计算机算出来的结果是：

\[\begin{aligned} x^2+\left(-\frac 4 3y\right)x+(-2y)&=0\\ \left(\frac 2{15}y+1\right)x^2+\left(-\frac 4{27}y^2-\frac{4}{3}y\right)x+\left(-\frac{2}{45}y^2-2y\right)&=0\\ \left(\frac {17}{1890}y^2+\frac{7}{60}y+1\right)x^2+\left(-\frac{403}{42525}y^3-\frac{17}{135}y^2-\frac{4}{3}y\right)x+\left(-\frac{41}{1890}y^3-\frac{1}{90}y^2-2y\right)&=0 \end{aligned} \]

再往下走，\(n=3\) 的系数就已经过于崩坏了。

于是这里就有了一个问题：有没有可能放松限制，譬如令 \(r<3n+4\)，然后找到形式更好的解？

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这个拟合也许可以看做是 Pade 逼近的自然延伸。因为如果把次数放低，我们就有：

\[\begin{aligned} x+A(y)&=0\\ A(y)x+B(y)&=0 \end{aligned} \]

当然，很不幸的是——第一个方程没有解（很自然地），而第二个方程只有 \(A(y)=B(y)=0\) 的平凡解（也并不意外）。

这自然地引出了下面这个形式：

\[\sum_{k=0}^s\alpha_k(y)x^k=0 \]

不过，受限于个人能力，我的研究就到这里了......

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又及：可以用拉格朗日反演去解出 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) 的级数解，但是比较难看 😦