「LOJ3406」Tom & Jerry
题目
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给定一张包含 \(n\) 个顶点和 \(m\) 条边的 无向连通图，Tom 和 Jerry 在图上进行了 \(q\) 次追逐游戏。
在第 \(i\) 次游戏中，Tom 一开始位于顶点 \(a_i\)，而 Jerry 一开始位于顶点 \(b_i\)（双方任何时候都知道自己和对方的位置），追逐规则如下：
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Jerry 和 Tom 交替行动，Jerry 先行动。
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Jerry 每次行动可以通过无向图中的 任意多条边（可以选择不移动），但是在移动过程中不能经过 Tom 当前所在的结点，否则就会被抓住。
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Tom 每次行动只能通过无向图中的 至多一条边（可以选择不移动）。
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如果 Tom 在一次行动后到达了 Jerry 的位置，那么 Tom 胜利。
Tom 尽量想要胜利，而 Jerry 会尽量阻止 Tom 胜利。
现在你需要对于每一局游戏，求出 Tom 是否一定能在有限次行动内获胜。
所有数据满足：\(1\leq n,m,q\leq 10^5\)，\(1\leq x,y,a,b\leq n\)，\(a_i\ne b_i\)，且给出的图连通、无自环、无重边。
分析
不妨考虑最简单的情况：整个图都是点双连通的。
这个局面对于 Jerry 非常有利，因为根据点双性质，Jerry 可以到达点双内任意一个点。但是，可以注意到如果存在一个结点和图中其它结点都相邻，则 Tom 可以站在这个结点上，而 Jerry 无论怎么跑下一步都会被抓；反之，若不存在这样的结点，则 Jerry 始终可以保持自己和 Tom 不相邻。于是，此时 Tom 存在必胜策略，当且仅当图中存在一个结点和其它结点都相邻。
自然地，对于一般图，我们可以想到将它分解为若干个点双连通分量，顺便建立一个圆方树的结构。对于一个点双连通的点的子集 \(C\subseteq V\)，若其中一点 \(u\) 满足 \(\forall v\in C\setminus \{u\},(u,v)\in E\)，则我们认为 \(u\) 在这个点双内显黑色，否则 \(u\) 就在这个点双内显白色。上面的分析就指出，如果整个图都点双连通，则 Tom 存在必胜策略当且仅当图中的点不全显白色。
将这个条件再拓展一下，如果一个点双内的点在这个点双内全显白色，则称这个点双为“纯白”。容易发现，如果 Jerry 可以到达一个“纯白”的点双，则 Jerry 就赢麻了。这首先要求图中存在一个“纯白”点双（obviously），其次要求“Jerry 可以到达它”。
若图中存在“纯白”点双，对可达性进行讨论：
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如果 Tom 一开始站在一个非割点 \(b\) 上，则 Jerry 显然可以到达“纯白”的点双。
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如果 Tom 一开始恰好站在割点 \(b\) 上，则我们大可忽略图上 Jerry 不能到达的点，并将圆方树的根定在 \(b\)。
假设某一时刻 Tom 在点 \(x\)。因为我们时刻忽略了 Jerry 不能到达的点，所以 \(x\) 目前只会在一个点双中。如果 \(x\) 在这个点双中显白色，则 Jerry 可以呆在该点双内某个与 \(x\) 不相邻的点，等 Tom 移动时逃出去；否则，Jerry 不能留在这个点双内，而 Tom 则可以向 Jerry 移动一条边，原先的这个点双中的点就会被“忽略”。
称圆方树上一个点双内最浅的点为该点双的根。则容易将上面的分析推广并得出，如果以 \(b\) 为根时，Jerry 能够到的点双中，存在一个点双满足根在其中显白色，则 Jerry 可以到达原图中的任意一点，否则 Jerry 一定会被抓住。如果 Jerry 能够到达原图中任意一点，那它自然就能到达图中存在的“纯白”点双了。
于是，图中存在“纯白”点双的情况就讨论完了。如果不存在，Jerry 还能够赢吗？
仍然考虑根在点双内显白色的点双。当 Tom 进入了这个点双且不在点双的根上时，我们将圆方树的根重新定在 Tom 所在的结点。此时，Jerry 又可以离开这个点双（它肯定不能留在原来的点双内），而如果此时还存在另一个点双，它的根在点双内显白色，则 Jerry 可以跑到那个点双中，重复勾引 Tom 的过程。这个过程在 Tom 进入新点双时仍可以重复——Jerry 可以回到旧点双。于是 Jerry 再次赢麻。
这个感性分析可以归纳为如下结论：对于两个不同的点双 \(C_1,C_2\)，若存在 \(u\in C_1,v\in C_2\) 满足以 \(u\) 为根时 \(C_2\) 的根为 \(v\) 且 \(v\) 在 \(C_2\) 中显白色，以 \(v\) 为根时 \(C_1\) 的根为 \(u\) 且 \(u\) 在 \(C_1\) 中显白色，且 Jerry 可以到达 \(C_1\) 或 \(C_2\) 中任一一个，则 Jerry 可以赢。直观意义下，相当于是 \(u,v\) 可以不经过 \(C_1\cup C_2-\{u\}-\{v\}\) 的点互达，我们把 \((C_1,C_2,u,v)\) 称为一条“赢麻”路好了。
前面可达性的讨论仍然成立——只需要注意到以 \(b\) 为根时，如果“赢麻”路 \((C_1,C_2,u,v)\) 的端点 \(u,v\) 存在一个可以被 Jerry 到达，则 \(u,v\) 之中必然存在一个点，满足其为 \(C_1\)（或 \(C_2\)）的根且在 \(C_1\)（或 \(C_2\)）中显白色且 Jerry 可以到达，而 Jerry 只需要一开始就“蹲守”在那个点双中即可。
反之，如果上面条件都不成立，即 Tom 一开始站在割点 \(b\) 上，且：
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以 \(b\) 为根时，Jerry 能够到达的点双的根都在点双内显黑色。
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或者图中既不存在“纯白”点双，又不存在“赢麻”路。
时，Jerry 一定会被抓住。延续上面分析的精神，则这一点不难证明，故略去。
实现时，我们首先要处理出图中是否存在“纯白”点双和“赢麻”路，这个可以在圆方树上 DFS 一遍得到；其次要处理出子树内是否存在根显白色的点双，这个可以用换根 DP 得到。最后询问时还需要额外查询 K 级祖先，预处理倍增数组即可。
复杂度为 \(O(m+(n+q)\log n)\)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )
typedef long long LL;
const int MAXN = 2e5 + 5, MAXLOG = 19;
template<typename _T>
inline void Read( _T &x ) {
x = 0; char s = getchar(); bool f = false;
while( s < '0' || '9' < s ) { f = s == '-', s = getchar(); }
while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
if( f ) x = -x;
}
template<typename _T>
inline void Write( _T x ) {
if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if( 9 < x ) Write( x / 10 );
putchar( x % 10 + '0' );
}
struct MyGraph {
struct Edge {
int to, nxt;
} Graph[MAXN << 1];
int head[MAXN], cnt;
MyGraph(): head{}, cnt( 1 ) {}
inline const Edge& operator [] ( const int &idx ) const { return Graph[idx]; }
inline void AddE( const int &from, const int &to ) {
AddEdge( from, to ), AddEdge( to, from );
}
inline void AddEdge( const int &from, const int &to ) {
Graph[++ cnt].to = to, Graph[cnt].nxt = head[from];
head[from] = cnt;
}
};
MyGraph org, tre;
std :: vector<int> compo[MAXN], edg[MAXN];
std :: vector<bool> whit[MAXN];
int deg[MAXN];
int ance[MAXN][MAXLOG], dep[MAXN];
int upWhit[MAXN], dnWhit[MAXN];
int ord[MAXN], siz[MAXN];
bool anyPath, anyPure;
int outTim[MAXN];
int stk[MAXN], top;
int DFN[MAXN], LOW[MAXN], ID = 0;
bool isCut[MAXN];
int edgFr[MAXN], edgTo[MAXN];
int N, M, Q, ntot, lg2;
void Tarjan( const int &u, const int &fa ) {
int sonCnt = 0;
stk[++ top] = u;
DFN[u] = LOW[u] = ++ ID;
for( int i = org.head[u], v ; i ; i = org[i].nxt )
if( ! DFN[v = org[i].to] ) {
Tarjan( v, u ), sonCnt ++;
LOW[u] = std :: min( LOW[u], LOW[v] );
if( LOW[v] >= DFN[u] ) {
isCut[u] = true;
compo[++ ntot].push_back( u );
do compo[outTim[stk[top]] = ntot].push_back( stk[top] );
while( stk[top --] ^ v );
for( const int &x : compo[ntot] )
tre.AddE( ntot, x );
}
} else if( v ^ fa )
LOW[u] = std :: min( LOW[u], DFN[v] );
if( ! fa && sonCnt == 1 ) isCut[u] = false;
}
inline int GetHandle( const int &id, const int &x ) {
return std :: lower_bound( compo[id].begin(), compo[id].end(), x ) - compo[id].begin();
}
void DFS1( const int &u, const int &fa ) {
siz[u] = 1, ord[u] = ++ ord[0];
dep[u] = dep[ance[u][0] = fa] + 1;
for( int i = tre.head[u], v ; i ; i = tre[i].nxt )
if( ( v = tre[i].to ) ^ fa )
DFS1( v, u ), siz[u] += siz[v];
if( u > N ) {
int n = compo[u].size();
rep( i, 0, n - 1 ) {
int v = compo[u][i];
if( v == fa ) dnWhit[u] += whit[u][i];
else {
anyPath |= whit[u][i] && dnWhit[v];
dnWhit[u] += dnWhit[v];
}
}
} else {
for( int i = tre.head[u], v ; i ; i = tre[i].nxt )
if( ( v = tre[i].to ) ^ fa ) {
anyPath |= dnWhit[u] && dnWhit[v];
dnWhit[u] += dnWhit[v];
}
}
}
void DFS2( const int &u, const int &fa ) {
for( int i = tre.head[u], v ; i ; i = tre[i].nxt )
if( ( v = tre[i].to ) ^ fa ) {
if( v > N )
upWhit[v] = upWhit[u] + dnWhit[u] - whit[v][GetHandle( v, u )];
else
upWhit[v] = upWhit[u] - dnWhit[v] + whit[u][GetHandle( u, v )];
DFS2( v, u );
}
}
inline int KthAnce( int u, int k ) {
for( ; k ; k &= k - 1 )
u = ance[u][__builtin_ctz( k )];
return u;
}
int main() {
Read( N ), Read( M ), Read( Q );
rep( i, 1, M ) {
Read( edgFr[i] ), Read( edgTo[i] );
org.AddE( edgFr[i], edgTo[i] );
}
ntot = N, Tarjan( 1, 0 );
outTim[1] = ntot;
rep( i, 1, M )
edg[std :: min( outTim[edgFr[i]], outTim[edgTo[i]] )].push_back( i );
rep( i, N + 1, ntot ) {
int n = compo[i].size(), m = edg[i].size();
std :: sort( compo[i].begin(), compo[i].end() );
rep( j, 0, n - 1 ) deg[compo[i][j]] = 0;
rep( j, 0, m - 1 )
deg[edgFr[edg[i][j]]] ++,
deg[edgTo[edg[i][j]]] ++;
whit[i].resize( n, false );
bool pure = true;
rep( j, 0, n - 1 )
pure &= ( whit[i][j] = deg[compo[i][j]] < n - 1 );
anyPure |= pure;
}
DFS1( 1, 0 );
DFS2( 1, 0 );
lg2 = log2( ntot );
rep( j, 1, lg2 ) rep( i, 1, ntot )
ance[i][j] = ance[ance[i][j - 1]][j - 1];
while( Q -- ) {
int a, b;
Read( a ), Read( b );
bool anyWhit = false;
if( ord[a] <= ord[b] && ord[b] < ord[a] + siz[a] )
anyWhit = dnWhit[KthAnce( b, dep[b] - dep[a] - 1 )];
else
anyWhit = upWhit[a];
anyWhit |= ! isCut[a];
puts( anyWhit && ( anyPath || anyPure ) ? "No" : "Yes" );
}
return 0;
}
