《一类基础子串数据结构》摘抄及注解
基础子串数据结构
阅读 xtq 的 2023 年集训队论文《一类基础子串数据结构》，对它进行一个摘抄和注解。
按 根据作者的语义，推测主要介绍的和字符串有关的结构叫做“基本子串结构”，而该结构和其相关的拓展（例如树链剖分部分）统称为“基础子串数据结构”。
1 前言
摘抄自 xtq 的论文：
字符串理论已在 OI 发展很久，其中逐渐产生了 SA、SAM 等高级后缀数据结构。这些结构深入剖析了字符串的性质，可以用来高效地解决大量的字符串问题。而这些后缀数据结构大多为单向联系，仅能处理后缀关系，而无法同时处理与前缀关系相关的内容。由此，笔者借助 SDOI2022 子串统计这道题目，对一类能够同时处理前后缀的字符串结构展开了研究，并写作了本文。该结构在此前从未出现过，所以笔者将其命名为基本子串结构。
简单来说就是：一众后缀结构处理后缀关系很强，处理前缀关系很菜。我们把两个后缀结构拼在一起，就可以得到处理两个方向都很强的结构。这就是基本子串结构的最基本思路。
2 约定与记号
字符集和字符串
默认 \(|\Sigma|=O(1)\)。
用 \(|s|\) 表示有限字符串 \(s\) 的长度，即其包含的字符的数量。
子串
对于长度为 \(n\) 的字符串 \(s=s_1s_2s_3\dots s_n\)，用 \(s[l,r]\) 表示 \(s_ls_{l+1}s_{l+2}\dots s_r\) 这个子串。一般认为 \(1\le l\le r\le n\)。
子串中有“前缀”和“后缀”这两种特殊子串。不考虑空前缀和空后缀，其余不再赘述。
非空字符串 \(t\) 是字符串 \(s\) 的子串，当且仅当存在 \((l,r)\) 使得 \(s[l,r]=t\)。反过来，若 \(t\) 是 \(s\) 的子串，则可以说“\(s\) 包含 \(t\)”。
occurence
对于字符串 \(s\) 及其任意一个子串 \(t\)，用 \(\operatorname{occ}_s(t)\) 表示 \(t\) 在 \(s\) 中的出现次数，也就是满足 \(s[l,r]=t\) 的 \((l,r)\) 对的对数。每个这样的 \(s[l,r]\) 称为 \(t\) 的一个出现位置。
后缀树
\(T_0\) 为正串 SAM 的 parent 树，也即反串的后缀树。
\(T_1\) 为反串 SAM 的 parent 树，也即正串的后缀树。
默认 \(T_0\) 与 \(T_1\) 上的结点等价于其对应 SAM 上的对应结点。
border
称 \(s\) 的子串 \(t\) 为 \(s\) 的 border，当且仅当 \(t\) 既是 \(s\) 的前缀，又是 \(s\) 的后缀，也即 \(s[1,|t|]=s[|s|-|t|+1,|s|]=t\)。
3 基本子串结构
3.1 引入
让我们从一道例题开始：
例题 3.1.1
给定字符串 \(s\)，\(q\) 次询问 \(T_0\) 和 \(T_1\) 中指定的两个结点代表的字符串的交集。
目标复杂度为 \(O(|s|+|q|)\)。
很明显，这道题需要我们将正反串的 parent 树（或者说是后缀树）合起来考虑。根据这个思路，我们就可以逐步得到基本子串结构。
3.2 结构
\(T_0\) 和 \(T_1\) 上的结点代表的字符串都有特别的结构。\(T_0\) 中一个结点代表的字符串两两互为后缀，且 \(\operatorname{occ}\) 相同；\(T_1\) 中一个结点代表的字符串两两互为前缀，且 \(\operatorname{occ}\) 也相同。想要把它们联系起来，我们就需要从此入手。
以下默认 \(s\) 是一个固定的字符串（母串）。\(\operatorname{occ}\) 若无特殊说明，则指代 \(\operatorname{occ}_s\)。
某些比较简单的证明和比较直观易懂的内容的证明将不会保留。
扩展串及其性质
我们引出以下概念：
定义 3.1（扩展串）
对于字符串 \(s\) 的一个子串 \(t\)，定义其扩展串 \(\operatorname{ext}(t)\) 为最长的 \(s\) 的子串 \(t'\)，使得其满足 \(t\) 为 \(t'\) 的子串且 \(\operatorname{occ}(t')=\operatorname{occ}(t)\)。
首先解决它的良定问题：
引理 3.2.1
对于 \(s\) 的子串 \(t_1\) 和 \(t_2\)，若 \(t_1\) 包含 \(t_2\)，则 \(\operatorname{occ}(t_1)\le \operatorname{occ}(t_2)\)。
引理 3.2.2
对于一个子串 \(t\)，\(\operatorname{ext}(t)\) 存在且唯一。
证明
存在性不必多说，\(t\) 本身便满足条件。
考虑唯一性。反证法，设存在两个不同的字符串 \(t_1\) 和 \(t_2\) 符合扩展串条件。
因为 \(\operatorname{occ}(t)=\operatorname{occ}(t_1)=\operatorname{occ}(t_2)\)，且 \(t\) 为 \(t_1,t_2\) 的子串，所以 \(t\) 的出现和 \(t_1,t_2\) 的出现一一对应。
考察 \(t\) 在 \(s[l,r]\) 的一次出现。我们可以找到 \((l_1,r_1)\) 满足 \(s[l_1,r_1]=t_1\) 且 \(l_1\le l\le r\le r_1\)；对于 \(t_2\) 可以找到同样的 \((l_2,r_2)\)。在此，不妨假设 \(r_1<r_2\)。
注意到，由于 \(l_1\le l_2\le r_1\le r_2\)，故可以验证子串 \(t'=s[l_1,r_2]\) 也满足“\(t\) 是 \(t'\) 的子串”和“\(\operatorname{occ}(t)=\operatorname{occ}(t')\)”，但是 \(|t'|>|t_1|=|t_2|\)，所以 \(t_1,t_2\) 不可能为 \(t\) 的扩展串，矛盾。
由这个证明过程，我们得到两个推论：
推论 3.2.1
对于子串 \(t\) 和 \(t'=\operatorname{ext}(t)\)，若 \(s[l,r]=t,s[l',r']=t'\) 且 \(l'\le l\le r\le r'\)，则对于任意的 \(l'\le l''\le l\le r\le r''\le r'\)，都有 \(\operatorname{ext}(s[l'',r''])=t'\)。
推论 3.2.2
对于子串 \(t\)，\(\operatorname{ext}(\operatorname{ext}(t))=\operatorname{ext}(t)\)。
等价类
parent 树上其实也有类似的“扩展串”结构，只不过它们的“扩展串”严格要求原串为其前缀或后缀。之后，“扩展串”就将 \(s\) 的子串划分进了若干个结点（即等价类）中。在此，我们做同样的动作。
定义 3.2（等价关系）
对于子串 \(x,y\)，两个串之间等价当且仅当 \(\operatorname{ext}(x)=\operatorname{ext}(y)\)。
容易验证该关系的自反性、对称性和传递性。要精确一点的话，这样才能称其为“等价关系”，直接将它命名为“等价关系”不太合理。
根据等价关系，\(s\) 的子串自然地被划分为了若干个等价类。我们取出每个等价类中具有代表性的元素：
定义 3.3（代表元）
对于子串 \(t\)，若 \(\operatorname{ext}(t)=t\)，则称 \(t\) 为 \(t\) 所在等价类的代表元。
若 \(t\) 所属的等价类为 \(g\)，则用 \(\operatorname{rep}(g)=t\) 表示 \(g\) 的代表元。
引理 3.2.3
对于每个等价类 \(g\)，\(\operatorname{rep}(g)\) 存在且唯一。
引理 3.2.4
对于子串 \(t_1,t_2\)，若 \(\operatorname{occ}(t_1)=\operatorname{occ}(t_2)\) 且 \(t_1\) 包含 \(t_2\)，则 \(t_1\) 与 \(t_2\) 等价。
等价类的直观结构
仅仅这样划分等价类还不够。parent 树的等价类的内部结构是很清晰的，但是现在的这个等价类内部还是很乱。怎么将它们排列好？考虑到子串可以和区间对应，我们引入平面直角坐标系上的点来代表子串。
注 因为绘图时格子比较好画，所以手绘的示意图中也会用方格表示子串。
定义 3.4（first occurence）
对于子串 \(t\)，定义 \(\operatorname{posl}(t)=\min\{l:s[l,l+|t|-1]=t\},\operatorname{posr}(t)=\min\{r:s[r-|t|+1,r]=t\}\)。
用 \(\operatorname{posl}\) 和 \(\operatorname{posr}\)，我们为每一个子串确定了一个出现位置。现在结合前面的引理，我们可以得到基本子串结构的关键性质：
定理 3.1（阶梯状结构）
建立以 \(l\) 为横轴，\(r\) 为纵轴的平面直角坐标系，子串 \(t\) 对应于点 \((\operatorname{posl}(t),\operatorname{posr}(t))\)。
则，每个等价类内的子串在平面上对应的点构成了一个上侧和左侧对齐，下侧和右侧呈阶梯性的阶梯状点阵。
证明
取一等价类 \(g\)，设 \(t_0=\operatorname{rep}(g)\)，再设 \((l_0,r_0)=(\operatorname{posl}(t_0),\operatorname{posr}(t_0))\)。
考虑 \(g\) 中任意字符串 \(t\)，它对应于点 \((l,r)=(\operatorname{posl}(t),\operatorname{posr}(t))\)。根据 \(\operatorname{ext},\operatorname{posl},\operatorname{posr}\) 的定义，有 \(l_0\le l\le r\le r_0\)。再根据引理 3.2.1，可知所有 \(l_0\le l'\le l\le r\le r'\le r_0\) 的串 \(t'=s[l',r']\) 都在 \(g\) 中。在平面上，这些串对应的就是以 \((l_0,r_0)\) 为左上角、以 \((l,r)\) 为右下角的所有点。该定理即得证。
Fig 3.1 矩形点阵
推论 3.2.3
所有 \(1\le l\le r\le |s|\) 的点被等价类划分为了若干个互不相交的阶梯形。其中，等价类 \(g\) 对应的阶梯形出现了 \(\operatorname{occ}(\operatorname{rep}(g))\) 次。
定义 3.5（周长）
对于一个等价类 \(g\)，其周长 \(\operatorname{per}(g)\) 为其对应的阶梯状点阵的行数和列数之和。
为了让这个性质更加易懂，在此略举一例。
假设 \(s=\texttt{aababcd}\)，那么可以划分为如下几个等价类：
对应到平面上，阶梯状图形就是：
等价类和后缀树
等价类的直观结构已经很漂亮了，但我们还可以进一步将它和后缀树联系在一起。
此处再提醒一次：\(T_0\) 为正串 parent 树/反串后缀树，\(T_1\) 为反串 parent 树/正串后缀树。
\(T_0\) 中一个结点代表的字符串两两间存在后缀关系，且 \(\operatorname{occ}\) 相同。放到平面上考虑，这相当是说 \(T_0\) 中一个结点代表的字符串同属于一个等价类，且在该等价类的阶梯状点阵中处于同一行。类似地，\(T_1\) 中一个结点代表的字符串就该处于同一列。进一步地，我们可以得到：
定理 3.2（等价类和后缀树结点的对应）
对于任意等价类，其阶梯状点阵中，每一行对应 \(T_0\) 中的一个结点，每一列对应 \(T_1\) 中的一个结点，且所有等价类中的所有行（所有列）和 \(T_0\)（\(T_1\)）中的所有结点形成一一对应的关系。
“对应”指“包含的字符串集合相同”。
证明
口胡了口胡了以行和 \(T_0\) 结点之间的对应关系为例。设等价类行集合为 \(R\)，\(T_0\) 结点集合为 \(V\)。设 \(c\in R\) 包含的字符串为 \(S(c)\)；\(u\in V\) 表示的字符串为 \(T_0(u)\)。
因为一个阶梯状点阵中同一行的字符串右端点相同，\(\operatorname{occ}\) 也相同，所以对于 \(c\in R\)，一定存在 \(u\in V\) 使得 \(S(c)\subseteq T_0(u)\)。因为 \(\{T_0(u):u\in V\}\) 构成一个本质不同子串的划分，所以一个 \(c\) 会对应到唯一的 \(u\)。这个映射记作 \(f:R\rightarrow V\)。
因为 \(\operatorname{occ}\) 相同，且表示的字符串两两间有后缀关系，所以对于任意的 \(u\in V\)，一定存在 \(c\in R\) 使得 \(T_0(u)\subseteq S(c)\)。因为 \(\{S(c):c\in R\}\) 构成一个本质不同子串的划分，所以一个 \(u\) 会对应到唯一的 \(c\)。这个映射记作 \(g:V\rightarrow R\)。
容易说明 \(g(f(c))=c,f(g(u))=u\)，故会形成一一对应的关系。
按 虽然在原文的定理 3.2中，作者正确地说明了“\(T_0\) 结点对应行、\(T_1\) 结点对应列”，但是在证明及后续讨论中，他貌似认为“\(T_0\) 结点对应列、\(T_1\) 结点对应行”，也就是说反了。
这样的对应关系同时也说明了另一个性质：
定理 3.3
\(\sum_g \operatorname{per}(g)=O(n)\)。
最后将树边连到等价类的行/列上，我们就得到了完整的基本子串结构了！
这个也很简单。对于 \(T_0\) 中的树边，我们规定其方向为“从父亲到儿子”，这样一条树边就应该从一行的左边界连向另一行右边界；对于 \(T_1\) 中的树边，则应该是从一列的上边界连向另一列的下边界。
按照这种连边方式，我们还可以给基本子串结构构造另一种含义：基本子串结构是一个以本质不同子串为结点的 DAG，其中 \(t\) 连向 \(t+c\) 和 \(c+t\)（\(t\) 为一个子串，\(c\) 为一个字符）。
仍然以 \(s=\texttt{aababcd}\) 为例，这里我们考虑它的行的连边。首先可以观察 \(s\) 的正串的 parent 树，也就是 \(T_0\)：
根据上面的叙述，不难得到 \(T_0\) 上结点和等价类行的对应关系，连边如下：
注意，在基本子串结构中，表示空字符串的根节点 \(1\) 是找不到对应的，所以此处用虚线表示连向 \(1\) 的父边。
从另一个角度来说，根据基本子串结构的含义和 \(T_0\) 上边的含义，我们发现 \(T_0\) 的树边其实就是等价类中每一行向其左边界紧邻的行连边。例如，平面上 \(7\) 结点左边紧邻的结点有 \(6\) 和 \(4\)，所以在 \(T_0\) 上 \(7\) 的儿子就是 \(6\) 和 \(4\)。
再见，DAG！
OI 中常用的 SAM 由 DAG 和 parent 树两部分组成。parent 树已经揉到基本子串结构里面了，所以现在我们尝试把 DAG 也搞进去。
以正串 SAM 为例，做一点粗分析：正串 SAM 的 DAG 表达的是“向 \(r\) 增大的方向加字符时的转移”，在平面上其实就是“向上走”。如果某一行不在等价类的上边界，那么该行的点“向上走”就只能走到其上一行，于是 DAG 上这个结点就只会连出去一条边；反过来，如果某一行在等价类的上边界，那么该行上的点“向上走”的终点就会取决于这一行的点关联的 \(T_1\) 的树边。
下面就来说明这样的现象。
首先，DAG 上转移时，已经在同一个结点内的字符串不会被拆开。我们需要说明树边转移，即“向左走”和“向上走”也满足这样的性质；下面这个引理就在做这个工作：
引理 3.2.5
如果 \(s[l,r_1]\) 与 \(s[l,r_2]\) 在同一等价类中，则 \(\forall 1\le l'\le l\)，\(s[l',r_1]\) 与 \(s[l',r_2]\) 在同一等价类中。
同理，如果 \(s[l_1,r]\) 与 \(s[l_2,r]\) 在同一等价类中，则 \(\forall r\le r'\le |s|\)，\(s[l_1,r']\) 与 \(s[l_2,r']\) 在同一等价类中。
证明
延续口胡证明的风格以拓展左侧为例。不妨设 \(r_1\le r_2\)，那么 \(s[l,r_2]\) 包含 \(s[l,r_1]\)，所以 \(s[l,r_2]\) 和 \(s[l,r_1]\) 的出现位置可以建立一一对应关系。
那么，如果有 \(s[p,p+r_1-l']=s[l',r_1]\)，就有 \(s[p+l-l',p+r_1-l']=s[l,r_1]\)。根据一一对应关系，有 \(s[p+l-l',p+r_2-l']=s[l,r_2]\)。最后比对字符可以得到 \(s[p,p+r_2-l']=s[l',r_2]\)。所以 \(\operatorname{occ}(s[l',r_1])\le \operatorname{occ}(s[l',r_2])\)，可以结合引理 3.2.4导出二者在同一等价类中。
我们知道，DAG 上走字符为 \(c\) 的转移边时，这个结点所代表的字符串都会在末尾加上 \(c\)。所以，我们还需要说明某一等价类的顶行处的 \(T_1\) 树边可以被分成若干组，每一组边都需要满足：
-
顶行上的每个点都必须恰好关联该组内的一条边。
-
这些边指向同一个等价类的同一行。
-
顶行上横坐标之差为 \(\delta\) 的两个点，关联的边指向的点的横坐标之差仍然为 \(\delta\)。这是因为同时加入一个字符后字符串相对长度不变。
可以证明满足这些限制的一组边就可以对应到 DAG 上的一条转移边。
下面这个定理就是在做这个工作。
定理 3.4
如果两个正串/反串 SAM 节点 \(u,v\) 在同一个等价类中，那么这两个点在 parent 树上的子树除根节点外结构完全相同。
结构完全相同指可将子树内的点一一对应，使其作为无根树同构，且对应的点满足：包含的串的个数，\(\operatorname{occ}\) 大小均相同。进一步的，对应的 SAM 节点在阶梯状网格图的相对位置（两行/列之间的距离）均与 \(u,v\) 在阶梯状网格图的相对位置（两行/列之间的距离）相同。
证明
以正串 SAM 为例。在一个等价类中任取两行，记它们对应的 SAM 结点为 \(u,v\)。设 \(b_u,b_v\) 分别为 \(u,v\) 包含的最长的字符串。不妨设 \(|b_u|\le |b_v|\)。
因为 \(u,v\) 同在一个等价类中，且一个等价类中的左边界对齐，所以 \(\operatorname{posl}(b_u)=\operatorname{posl}(b_v)\)。
设 \(k=\operatorname{occ}(b_u),\delta=|b_v|-|b_u|\)，则可以找出 \(b_u\) 的出现位置按左端点升序排序为 \(s[l_1,r_1],s[l_2,r_2],\dots,s[l_k,r_k]\)，而 \(b_v\) 为 \(s[l_1,r_1+\delta],s[l_2,r_2+\delta],\dots,s[l_k,r_k+\delta]\)。由引理 3.2.5，\(\forall 1\le i\le k,1\le j\le l_k\)，\(s[j,r_i]\) 和 \(s[j,r_i+\delta]\) 在同一等价类中，且在平面上的相对位置和 \(b_u,b_v\) 的相对位置相同。我们就称“\(s[j,r_i]\) 对应 \(s[j,r_i+\delta]\)”。
注意到，\(u\) 子树中的串恰巧可以表示为 \(\{s[j,r_i]:1\le i\le k,1\le j<l_i\}\)，\(v\) 子树同理。因此，这个对应关系可以使得 \(u\) 子树内串的 trie 和 \(v\) 子树内串的 trie 作为无根树同构，且对应的结点的 \(\operatorname{occ}\) 相同。将 trie 的二度点缩掉就得到了 parent 树。
进一步地，刚刚的分组要求可以在下面这个推论中体现：
推论 3.2.4
可以把一个块的上边界连出的边分成若干组，每组会连向某个其他块一段连续且对齐的下边界。组数即 parent 树上的儿子个数。对于左边界同理。
Fig 3.5 树边分组示意图
现在在基本子串结构上，一行走 \(T_1\) 树边的整体转移与在 DAG 上走一条字符边的性质无异，我们只需要按照字符对应起来。根据推论 3.2.4，我们只需要随便取出一行上的一个点出来，将它在 \(T_1\) 上的树边和 DAG 上的字符边对应起来即可。
于是，我们得到：
引理 3.2.6
对于一个 \(T_0\) 上的点，如果其不对应其所在块的上边界，那么它在 SAM 上有且仅有一条出边，连向它上面的行所对应的节点；如果其对应的是上边界，则它的所有出边即连向从该上边界用另一棵 SAM 的 parent 树边连出能到的所有下边界表示的 SAM 节点。
对于 \(T_1\) 上的点类似。
这样，我们就将 DAG 的结构完全用另一个 SAM 的 parent 树替代了。
3.3 构建
光说无益，没有构建算法的话基本子串结构就还是空中楼阁。
细想一下，要构建基本子串结构，我们只需要做好几件事——首先构建 SAM，其次识别代表元并初步确定等价类，然后划分等价类，最后按顺序安放行和列。
令 \(n=|s|\)。以下是详细过程：
构建正反 SAM
众所周知，SAM 可以在 \(O(n)\) 时间内完成构建。
以下就称正串 SAM 为“正 SAM”，反串 SAM 为“反 SAM”。
识别代表元
根据引理 3.2.6，我们只需要识别出来正反 SAM 哪些结点包含等价类的代表元即可。
注意到，代表元必然是一个 SAM 结点包含的最长的字符串。因此，我们可以考虑“枚举”正 SAM 上每一个结点的最长字符串。同时注意到，根据平面上点的分布规律，正 SAM 上一个结点的最长字符串必然落在同一列（等价类的左边界）上；而其中，代表元又是该列最长的那个字符串。因此，如果我们可以对于正 SAM 的每一个结点，找到其最长字符串所在的反 SAM 结点，就可以通过比较长度，知道该字符串是否为代表元。顺便，我们还完成了“将两个 SAM 的等价类对应起来”的工作。
按 论文中判断是否为等价类边界的方法为“检查自动机上的出边”，对应等价类的方法为“找到代表元的 \(\operatorname{posl}\) 和 \(\operatorname{posr}\)”。正确性不必多说，但是似乎很难保证线性复杂度？
具体到实现，我们可以对于正 SAM 的 DAG 做 DFS 或 BFS，每次只沿着 \(\text {mx}_v=\text{mx}_u+1\) 的弧 \(u\rightarrow v\) 进行转移。同时，在反 SAM 上维护当前走过的路径代表的字符串所在的结点。因为是一直在向后加字符，所以反 SAM 上一直走的是树边。为了处理这个过程，需要提前预处理反 SAM 上各个字符转移到的儿子。这样就是 \(O(n)\) 的。
如果对于复杂度要求不高的话，在反 SAM 上找对应时则可以“先在原串上定位区间，再在反 SAM 的 parent 树上树上倍增”解决，复杂度变为 \(O(n\log n)\)。
划分等价类
现在我们只需要确定不包含代表元的结点所在的等价类编号即可。
根据引理 3.2.6，这些结点在 DAG 上必然只有一条出边。现在我们需要一个正确的编号顺序，使得给某个未划分结点确定等价类时，其出边指向的结点已经被确定了等价类，那么毫无疑问按照 \(\text{mx}\) 从大到小扫描即可。
实际实现时，按照 SAM 的结点编号倒着扫描也是一个合理的顺序，原因暂时未知。
排序行列
把行列放到等价类里面已经不是问题，现在我们需要将它们排序。具体来说，行应当按照 \(r\) 有序，而列应该按照 \(l\) 有序。“但其天然与 SAM 构建时加入的顺序相同”，故可以直接按照 SAM 的编号将行列放到等价类里面。
具体什么原理搬运人也不是很清楚。可能是因为 SAM 增量构建的过程中，同一等价类内部的行和列都是有序出现的吧。
至此，一个完整的基本子串结构就已经建立了。上面介绍的是一个离线的 \(O(n)\) 的算法，实现并不复杂；同时也存在更加简单粗暴的 \(O(n\log n)\) 算法。
至于在线构建算法，论文之中没有提到，搬运人也不会，故还有待探索！
3.4 应用
我们将通过论文例题和其他题目简单展示一下基本子串结构的应用。
因为这个结构还比较新，所以相关应用可能还不是很多。
例题 3.1.1
题目见前文。
解法
知道了结点，自然就可以知道它们所在的等价类和它们对应的行和列。
如果它们不在同一个等价类，则交集显然为空。如果在一个等价类中，则交集为行列包含的点的交集。
下面这个例题是比较新的，通过它可以一窥基本子串结构的强大。
例题 3.4.1（「CF1817F」Entangled Substrings）
给定一个字符串 \(s\)，你需要求出有多少个字符串有序对 \((a,b)\) 满足：
\(a,b\) 都是 \(s\) 的非空子串。
存在一个可为空的字符串 \(c\) 使得：
若 \(s[l,r]=a\)，则 \(s[l,r+|c|+|b|]=acb\)。
若 \(s[l,r]=b\)，则 \(s[l-|c|-|a|,r]=acb\)。
也即，\(a,b\) 仅会在 \(acb\) 这样的子串中出现。
解法
很显然，题目条件就是 \(a,b\) 要和 \(acb\) 在同一个等价类中。
假设我们已知 \(acb\) 对应的点，坐标为 \((l_0,r_0)\)，那么 \(a\) 的坐标一定是形如 \((l_0,r)\)，\(b\) 的坐标一定是形如 \((l,r_0)\)。同时，因为 \(a,b\) 要在同一个等价类中，所以还应该存在边界 \(r_a,l_b\)，以限制 \(r_a\le r\le r_0,l_0\le l\le l_b\)。
根据坐标的性质，一定有 \(r_a\ge l_0,l_b\le r_0\)。注意到合法的 \(acb\) 还应该满足 \(r<l\)，所以我们要统计的就是满足 \(l_0\le r_a\le r<l\le l_b\le r_0\) 的 \((l,r)\) 对数。很容易知道结果为 \(\sum_{l=r_a}^{l_b}l-r_a=\frac{(l_b-r_a)(l_b-r_a+1)}{2}\)。
我们可以枚举 \(r_a\)，这样可行的 \(l_b\) 对应于行的前缀（从上到下）。此时计算只需要知道 \(\sum l_b^2,\sum l_b,\sum 1\)，所以维护好这几个和就可以了。阶梯状图形自带的单调性使得我们可以双指针 \(O(n)\) 解决本题。
参考代码。
基本子串结构也可以完成某些 SAM 变种可以完成任务。下面这个例题原本的解法需要用到对称压缩 SAM，但是利用好基本子串结构解决它也并不困难：
例题 3.4.2（「UOJ577」打击复读）
给定长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，第 \(i\) 个字符有两个权值：左权值 \(wl_i\) 和右权值 \(wr_i\)。定义一个子串 \(s[l, r]\) 的左权值 \(vl(s[l, r])\) 为：其在原串中各个出现位置的左端点的左权值 \(wl\) 和；右权值 \(vr(s[l, r])\) 为：其在原串中各个出现位置的右端点的右权值 \(wr\) 和。定义一个子串 \(s[l, r]\) 的复读程度是它的左权值与右权值的乘积，即 \(w(s[l, r]) = vl(s[l, r])\cdot vr(s[l, r])\)。
s 的复读程度定义为所有子串复读程度的和，即：
\[\sum_{i=1}^{|S|}\sum_{j=i}^{|S|}w(s[i,j]) \]\(q\) 次修改某个 \(wl_i\) ，查询整串的复读程度，对 \(2^{64}\) 取模。
解法
注意到，整串的复读程度一定可以被表示为 \(wl\) 的线性组合，所以求出各个 \(wl\) 的系数就可以 \(O(q)\) 解决所有询问。
首先将原串的正反 SAM 建出来。那么，对于一个子串 \(t\) 而言，\(vr(t)\) 仅仅和其所在的正 SAM 结点（即 \(T_0\) 结点）有关，\(vl(t)\) 仅仅和其所在的反 SAM 结点（即 \(T_1\) 结点）有关。而 \(T_0\) 结点对应的 \(vr\) 和 \(T_1\) 结点对应的 \(vl\) 其实都是子树和。
将这个问题放到基本子串结构上，则相当于等价类的每一行有一个权值 \(vr\)，每一列有一个权值 \(vl\)，\(t\) 的权值就是所在行列的权值的乘积。会和某一个 \(vl\) 乘起来的 \(vr\) 一定是一段行的前缀（从上到下），所以滚一个前缀和即可知道 \(vl\) 的系数。再将 \(vl\) 的系数反着推到 \(wl\) 上就得到了 \(wl\) 的系数。
时间复杂度为 \(O(n+q)\)。参考代码。
值得一提的是，根据论文的说法，对称压缩 SAM 实际上就是将每个等价类压缩成了一个结点，两棵 parent 树的边就形成了两个方向的自动机的结构。
处理子串的子串的信息时，基本子串结构告诉我们，你实际上就是在做一个二维数点：
例题 3.4.3（「UOJ697」广为人知题）
给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)，字符集为小写英文字母。
给定 \(m\) 个模式串，第 \(i\) 个为 \(s[\mathrm{tl}_i \cdots \mathrm{tr}_i]\)（\(s\) 的下标从 \(1\) 开始）。
现有 \(q\) 次查询，每次给出 \([\mathrm{ql}_i, \mathrm{qr}_i]\)，求所有模式串在 \(s[\mathrm{ql}_i \cdots \mathrm{qr}_i]\) 中的出现次数之和。
解法
（和论文的做法有出入，但是本质相同）
考虑对于每一个模式串，在平面上将它的出现位置对应的点的权值全部 \(+1\)。那么，一次询问就是在 \(\{(x,y):x\ge \mathrm{ql},y\le \mathrm{qr}\}\) 的范围内求点的权值和。
注意到询问的答案和 \(s[\mathrm {ql},\mathrm {qr}]\) 所在的位置无关，所以我们可以去掉它的位置，转而在 \(s[\mathrm {ql},\mathrm {qr}]\) 所在的等价类里面考虑这个询问。
考虑将贡献分为“与 \((\mathrm{ql},\mathrm{qr})\) 同在一个等价类的”和“在 \((\mathrm{ql},\mathrm{qr})\) 所在等价类之外的”。前者因为总共点数为 \(O(m)\)，所以可以直接二维数点解决。
第二种贡献则需要对于等价类之外的区域划分。首先按照列划分，如下图所示：
Fig 3.7 平面划分 等价类中若有 \(c\) 列，则将前 \(c\) 列单独划分出来（蓝色区域）；右侧则会剩一块区域没有被等价类的列覆盖到，可以将它们全部划分为一块（绿色区域）。
蓝色区域对应的是 \(T_1\) 上祖先包含的权值之和，可以预处理；绿色区域则为另一个等价类的代表元进行询问得到的结果，也可以提前处理出来。
此时就可以算出 \(\{(x,y):x\ge \mathrm{ql}\}\) 部分的答案。而减去 \(\{(x,y):x\ge \mathrm{ql},y>\mathrm {qr}\}\) 就相当于减去行的前缀的右侧部分，对应的是每一行 \(T_0\) 上祖先包含权值之和的前缀和，仍然可以预处理。
此外，定位子串所在等价类的复杂度为 \(O((m+q)\log n)\)，于是我们就得到了一个 \(O(n+(m+q)\log n)\) 的做法。
参考代码，
但是我写的常数太大了，跑不过 \(\log^2n\)。
最后看一眼 SDOI2022 吧家人们：
例题 3.4.4（「SDOI2022/SXOI2022」子串统计）
给定长度为 \(n\) 的字符串 \(s\)。令 \(T_0 = s\)。每次删除 \(T_i\) 的开头或结尾的字符，得到新的字符串 \(T_{i+1}\)，经过 \(n − 1\) 次操作之后，会得到只有一个字符的串 \(T_{n−1}\)。根据每次删除的选择，一共有 \(2^{n−1}\) 种可能的操作序列。
对于一个操作序列，记其权值为：
\[\prod_{i=1}^{n-1} \operatorname{occ}_s(T_i) \]求出所有操作序列的权值和，对 \(998244353\) 取模。
解法
一个操作序列实际上是“从平面上 \((1,n)\) 出发，每次只能向下或向右走，走到任意一个 \((x,x)\)"的一条路径。它的权值几乎就是经过的每个结点的 \(\operatorname{occ}\) 之和。
注意到，一个等价类中的 \(\operatorname{occ}\) 全部相同，因此可以想到将一个等价类中的放到一起转移。为了计算的方便，计算时反着考虑路径，也就是从 \((x,x)\) 推到 \((1,n)\)。
在一个等价类中，假设阶梯状边界上的点所在行列为 \((a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots,(a_m,b_m)\)，到各个点的权值和为 \(f_1,f_2,\dots,f_m\)，则贡献到第一行的 OGF 形如 \(\sum_{i=1}^m\frac{x^{a_i}\cdot f_i\operatorname{occ}^{b_i}}{(1-\operatorname{occ}x)^{b_i+1}}\)。因为 \(a,b\) 同调，所以可以分治算出这个分式。
一个等价类的复杂度为 \(O(\operatorname{per}(a)\log^2n)\)，总复杂度即为 \(O(n\log^2n)\)。
没有参考代码......
4 基本子串结构上的树链剖分
咕且姑着。
