《一类基础子串数据结构》摘抄及注解

基础子串数据结构

阅读 xtq 的 2023 年集训队论文《一类基础子串数据结构》，对它进行一个摘抄和注解。

按 根据作者的语义，推测主要介绍的和字符串有关的结构叫做“基本子串结构”，而该结构和其相关的拓展（例如树链剖分部分）统称为“基础子串数据结构”。

1 前言

摘抄自 xtq 的论文：

字符串理论已在 OI 发展很久，其中逐渐产生了 SA、SAM 等高级后缀数据结构。这些结构深入剖析了字符串的性质，可以用来高效地解决大量的字符串问题。而这些后缀数据结构大多为单向联系，仅能处理后缀关系，而无法同时处理与前缀关系相关的内容。由此，笔者借助 SDOI2022 子串统计这道题目，对一类能够同时处理前后缀的字符串结构展开了研究，并写作了本文。该结构在此前从未出现过，所以笔者将其命名为基本子串结构。

简单来说就是：一众后缀结构处理后缀关系很强，处理前缀关系很菜。我们把两个后缀结构拼在一起，就可以得到处理两个方向都很强的结构。这就是基本子串结构的最基本思路。

2 约定与记号

字符集和字符串

默认 $|\Sigma|=O(1)$。

用 $|s|$ 表示有限字符串 $s$ 的长度，即其包含的字符的数量。

子串

对于长度为 $n$ 的字符串 $s=s_1s_2s_3\dots s_n$，用 $s[l,r]$ 表示 $s_ls_{l+1}s_{l+2}\dots s_r$ 这个子串。一般认为 $1\le l\le r\le n$。

子串中有“前缀”和“后缀”这两种特殊子串。不考虑空前缀和空后缀，其余不再赘述。

非空字符串 $t$ 是字符串 $s$ 的子串，当且仅当存在 $(l,r)$ 使得 $s[l,r]=t$。反过来，若 $t$ 是 $s$ 的子串，则可以说“$s$ 包含 $t$”。

occurence

对于字符串 $s$ 及其任意一个子串 $t$，用 $\operatorname{occ}_s(t)$ 表示 $t$ 在 $s$ 中的出现次数，也就是满足 $s[l,r]=t$ 的 $(l,r)$ 对的对数。每个这样的 $s[l,r]$ 称为 $t$ 的一个出现位置。

后缀树

$T_0$ 为正串 SAM 的 parent 树，也即反串的后缀树。

$T_1$ 为反串 SAM 的 parent 树，也即正串的后缀树。

默认 $T_0$ 与 $T_1$ 上的结点等价于其对应 SAM 上的对应结点。

border

称 $s$ 的子串 $t$ 为 $s$ 的 border，当且仅当 $t$ 既是 $s$ 的前缀，又是 $s$ 的后缀，也即 $s[1,|t|]=s[|s|-|t|+1,|s|]=t$。

3 基本子串结构

3.1 引入

让我们从一道例题开始：

例题 3.1.1

给定字符串 $s$，$q$ 次询问 $T_0$ 和 $T_1$ 中指定的两个结点代表的字符串的交集。

目标复杂度为 $O(|s|+|q|)$。

很明显，这道题需要我们将正反串的 parent 树（或者说是后缀树）合起来考虑。根据这个思路，我们就可以逐步得到基本子串结构。

3.2 结构

$T_0$ 和 $T_1$ 上的结点代表的字符串都有特别的结构。$T_0$ 中一个结点代表的字符串两两互为后缀，且 $\operatorname{occ}$ 相同；$T_1$ 中一个结点代表的字符串两两互为前缀，且 $\operatorname{occ}$ 也相同。想要把它们联系起来，我们就需要从此入手。

以下默认 $s$ 是一个固定的字符串（母串）。$\operatorname{occ}$ 若无特殊说明，则指代 $\operatorname{occ}_s$。

某些比较简单的证明和比较直观易懂的内容的证明将不会保留。

扩展串及其性质

我们引出以下概念：

定义 3.1（扩展串）

对于字符串 $s$ 的一个子串 $t$，定义其扩展串 $\operatorname{ext}(t)$ 为最长的 $s$ 的子串 $t'$，使得其满足 $t$ 为 $t'$ 的子串且 $\operatorname{occ}(t')=\operatorname{occ}(t)$。

首先解决它的良定问题：

引理 3.2.1

对于 $s$ 的子串 $t_1$ 和 $t_2$，若 $t_1$ 包含 $t_2$，则 $\operatorname{occ}(t_1)\le \operatorname{occ}(t_2)$。

引理 3.2.2

对于一个子串 $t$，$\operatorname{ext}(t)$ 存在且唯一。

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证明

存在性不必多说，$t$ 本身便满足条件。

考虑唯一性。反证法，设存在两个不同的字符串 $t_1$ 和 $t_2$ 符合扩展串条件。

因为 $\operatorname{occ}(t)=\operatorname{occ}(t_1)=\operatorname{occ}(t_2)$，且 $t$ 为 $t_1,t_2$ 的子串，所以 $t$ 的出现和 $t_1,t_2$ 的出现一一对应。

考察 $t$ 在 $s[l,r]$ 的一次出现。我们可以找到 $(l_1,r_1)$ 满足 $s[l_1,r_1]=t_1$ 且 $l_1\le l\le r\le r_1$；对于 $t_2$ 可以找到同样的 $(l_2,r_2)$。在此，不妨假设 $r_1<r_2$。

注意到，由于 $l_1\le l_2\le r_1\le r_2$，故可以验证子串 $t'=s[l_1,r_2]$ 也满足“$t$ 是 $t'$ 的子串”和“$\operatorname{occ}(t)=\operatorname{occ}(t')$”，但是 $|t'|>|t_1|=|t_2|$，所以 $t_1,t_2$ 不可能为 $t$ 的扩展串，矛盾。

由这个证明过程，我们得到两个推论：

推论 3.2.1

对于子串 $t$ 和 $t'=\operatorname{ext}(t)$，若 $s[l,r]=t,s[l',r']=t'$ 且 $l'\le l\le r\le r'$，则对于任意的 $l'\le l''\le l\le r\le r''\le r'$，都有 $\operatorname{ext}(s[l'',r''])=t'$。

推论 3.2.2

对于子串 $t$，$\operatorname{ext}(\operatorname{ext}(t))=\operatorname{ext}(t)$。

等价类

parent 树上其实也有类似的“扩展串”结构，只不过它们的“扩展串”严格要求原串为其前缀或后缀。之后，“扩展串”就将 $s$ 的子串划分进了若干个结点（即等价类）中。在此，我们做同样的动作。

定义 3.2（等价关系）

对于子串 $x,y$，两个串之间等价当且仅当 $\operatorname{ext}(x)=\operatorname{ext}(y)$。

容易验证该关系的自反性、对称性和传递性。要精确一点的话，这样才能称其为“等价关系”，直接将它命名为“等价关系”不太合理。

根据等价关系，$s$ 的子串自然地被划分为了若干个等价类。我们取出每个等价类中具有代表性的元素：

定义 3.3（代表元）

对于子串 $t$，若 $\operatorname{ext}(t)=t$，则称 $t$ 为 $t$ 所在等价类的代表元。

若 $t$ 所属的等价类为 $g$，则用 $\operatorname{rep}(g)=t$ 表示 $g$ 的代表元。

引理 3.2.3

对于每个等价类 $g$，$\operatorname{rep}(g)$ 存在且唯一。

引理 3.2.4

对于子串 $t_1,t_2$，若 $\operatorname{occ}(t_1)=\operatorname{occ}(t_2)$ 且 $t_1$ 包含 $t_2$，则 $t_1$ 与 $t_2$ 等价。

等价类的直观结构

仅仅这样划分等价类还不够。parent 树的等价类的内部结构是很清晰的，但是现在的这个等价类内部还是很乱。怎么将它们排列好？考虑到子串可以和区间对应，我们引入平面直角坐标系上的点来代表子串。

注 因为绘图时格子比较好画，所以手绘的示意图中也会用方格表示子串。

定义 3.4（first occurence）

对于子串 $t$，定义 $\operatorname{posl}(t)=\min\{l:s[l,l+|t|-1]=t\},\operatorname{posr}(t)=\min\{r:s[r-|t|+1,r]=t\}$。

用 $\operatorname{posl}$ 和 $\operatorname{posr}$，我们为每一个子串确定了一个出现位置。现在结合前面的引理，我们可以得到基本子串结构的关键性质：

定理 3.1（阶梯状结构）

建立以 $l$ 为横轴，$r$ 为纵轴的平面直角坐标系，子串 $t$ 对应于点 $(\operatorname{posl}(t),\operatorname{posr}(t))$。

则，每个等价类内的子串在平面上对应的点构成了一个上侧和左侧对齐，下侧和右侧呈阶梯性的阶梯状点阵。

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证明

取一等价类 $g$，设 $t_0=\operatorname{rep}(g)$，再设 $(l_0,r_0)=(\operatorname{posl}(t_0),\operatorname{posr}(t_0))$。

考虑 $g$ 中任意字符串 $t$，它对应于点 $(l,r)=(\operatorname{posl}(t),\operatorname{posr}(t))$。根据 $\operatorname{ext},\operatorname{posl},\operatorname{posr}$ 的定义，有 $l_0\le l\le r\le r_0$。再根据引理 3.2.1，可知所有 $l_0\le l'\le l\le r\le r'\le r_0$ 的串 $t'=s[l',r']$ 都在 $g$ 中。在平面上，这些串对应的就是以 $(l_0,r_0)$ 为左上角、以 $(l,r)$ 为右下角的所有点。该定理即得证。

Fig 3.1 矩形点阵

推论 3.2.3

所有 $1\le l\le r\le |s|$ 的点被等价类划分为了若干个互不相交的阶梯形。其中，等价类 $g$ 对应的阶梯形出现了 $\operatorname{occ}(\operatorname{rep}(g))$ 次。

定义 3.5（周长）

对于一个等价类 $g$，其周长 $\operatorname{per}(g)$ 为其对应的阶梯状点阵的行数和列数之和。

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为了让这个性质更加易懂，在此略举一例。

假设 $s=\texttt{aababcd}$，那么可以划分为如下几个等价类：

$$\begin{aligned} {\color{red}{g_1}}=&\{\texttt{aa},\texttt{aab},\texttt{aaba},\texttt{aabab},\texttt{aababc},\texttt{aababcd}\}\cup\\ &\{\texttt{aba},\texttt{abab},\texttt{ababc},\texttt{ababcd}\}\cup\\ &\{\texttt{ba},\texttt{bab},\texttt{babc},\texttt{babcd}\}\cup\\ &\{\texttt{abc},\texttt{abcd}\}\cup\\ &\{\texttt{bc},\texttt{bcd}\}\cup\\ &\{\texttt{c},\texttt{cd}\}\cup\{\texttt{d}\}\\ {\color{blue}{g_2}}=&\{\texttt{b},\texttt{ab}\}\\ {\color{green}{g_3}}=&\{\texttt{a}\} \end{aligned}$$

对应到平面上，阶梯状图形就是：

Fig 3.2 字符串 aababcd 的等价类形态

等价类和后缀树

等价类的直观结构已经很漂亮了，但我们还可以进一步将它和后缀树联系在一起。

此处再提醒一次：$T_0$ 为正串 parent 树/反串后缀树，$T_1$ 为反串 parent 树/正串后缀树。

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$T_0$ 中一个结点代表的字符串两两间存在后缀关系，且 $\operatorname{occ}$ 相同。放到平面上考虑，这相当是说 $T_0$ 中一个结点代表的字符串同属于一个等价类，且在该等价类的阶梯状点阵中处于同一行。类似地，$T_1$ 中一个结点代表的字符串就该处于同一列。进一步地，我们可以得到：

定理 3.2（等价类和后缀树结点的对应）

对于任意等价类，其阶梯状点阵中，每一行对应 $T_0$ 中的一个结点，每一列对应 $T_1$ 中的一个结点，且所有等价类中的所有行（所有列）和 $T_0$（$T_1$）中的所有结点形成一一对应的关系。

“对应”指“包含的字符串集合相同”。

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证明

口胡了口胡了

以行和 $T_0$ 结点之间的对应关系为例。设等价类行集合为 $R$，$T_0$ 结点集合为 $V$。设 $c\in R$ 包含的字符串为 $S(c)$；$u\in V$ 表示的字符串为 $T_0(u)$。

因为一个阶梯状点阵中同一行的字符串右端点相同，$\operatorname{occ}$ 也相同，所以对于 $c\in R$，一定存在 $u\in V$ 使得 $S(c)\subseteq T_0(u)$。因为 $\{T_0(u):u\in V\}$ 构成一个本质不同子串的划分，所以一个 $c$ 会对应到唯一的 $u$。这个映射记作 $f:R\rightarrow V$。

因为 $\operatorname{occ}$ 相同，且表示的字符串两两间有后缀关系，所以对于任意的 $u\in V$，一定存在 $c\in R$ 使得 $T_0(u)\subseteq S(c)$。因为 $\{S(c):c\in R\}$ 构成一个本质不同子串的划分，所以一个 $u$ 会对应到唯一的 $c$。这个映射记作 $g:V\rightarrow R$。

容易说明 $g(f(c))=c,f(g(u))=u$，故会形成一一对应的关系。

按 虽然在原文的定理 3.2中，作者正确地说明了“$T_0$ 结点对应行、$T_1$ 结点对应列”，但是在证明及后续讨论中，他貌似认为“$T_0$ 结点对应列、$T_1$ 结点对应行”，也就是说反了。

这样的对应关系同时也说明了另一个性质：

定理 3.3

$\sum_g \operatorname{per}(g)=O(n)$。

最后将树边连到等价类的行/列上，我们就得到了完整的基本子串结构了！

这个也很简单。对于 $T_0$ 中的树边，我们规定其方向为“从父亲到儿子”，这样一条树边就应该从一行的左边界连向另一行右边界；对于 $T_1$ 中的树边，则应该是从一列的上边界连向另一列的下边界。

按照这种连边方式，我们还可以给基本子串结构构造另一种含义：基本子串结构是一个以本质不同子串为结点的 DAG，其中 $t$ 连向 $t+c$ 和 $c+t$（$t$ 为一个子串，$c$ 为一个字符）。

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仍然以 $s=\texttt{aababcd}$ 为例，这里我们考虑它的行的连边。首先可以观察 $s$ 的正串的 parent 树，也就是 $T_0$：

Fig 3.3 字符串 aababcd 的正串 parent tree

根据上面的叙述，不难得到 $T_0$ 上结点和等价类行的对应关系，连边如下：

Fig 3.4 等价类中行的连边

注意，在基本子串结构中，表示空字符串的根节点 $1$ 是找不到对应的，所以此处用虚线表示连向 $1$ 的父边。

从另一个角度来说，根据基本子串结构的含义和 $T_0$ 上边的含义，我们发现 $T_0$ 的树边其实就是等价类中每一行向其左边界紧邻的行连边。例如，平面上 $7$ 结点左边紧邻的结点有 $6$ 和 $4$，所以在 $T_0$ 上 $7$ 的儿子就是 $6$ 和 $4$。

再见，DAG！

OI 中常用的 SAM 由 DAG 和 parent 树两部分组成。parent 树已经揉到基本子串结构里面了，所以现在我们尝试把 DAG 也搞进去。

以正串 SAM 为例，做一点粗分析：正串 SAM 的 DAG 表达的是“向 $r$ 增大的方向加字符时的转移”，在平面上其实就是“向上走”。如果某一行不在等价类的上边界，那么该行的点“向上走”就只能走到其上一行，于是 DAG 上这个结点就只会连出去一条边；反过来，如果某一行在等价类的上边界，那么该行上的点“向上走”的终点就会取决于这一行的点关联的 $T_1$ 的树边。

下面就来说明这样的现象。

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首先，DAG 上转移时，已经在同一个结点内的字符串不会被拆开。我们需要说明树边转移，即“向左走”和“向上走”也满足这样的性质；下面这个引理就在做这个工作：

引理 3.2.5

如果 $s[l,r_1]$ 与 $s[l,r_2]$ 在同一等价类中，则 $\forall 1\le l'\le l$，$s[l',r_1]$ 与 $s[l',r_2]$ 在同一等价类中。

同理，如果 $s[l_1,r]$ 与 $s[l_2,r]$ 在同一等价类中，则 $\forall r\le r'\le |s|$，$s[l_1,r']$ 与 $s[l_2,r']$ 在同一等价类中。

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证明

延续口胡证明的风格

以拓展左侧为例。不妨设 $r_1\le r_2$，那么 $s[l,r_2]$ 包含 $s[l,r_1]$，所以 $s[l,r_2]$ 和 $s[l,r_1]$ 的出现位置可以建立一一对应关系。

那么，如果有 $s[p,p+r_1-l']=s[l',r_1]$，就有 $s[p+l-l',p+r_1-l']=s[l,r_1]$。根据一一对应关系，有 $s[p+l-l',p+r_2-l']=s[l,r_2]$。最后比对字符可以得到 $s[p,p+r_2-l']=s[l',r_2]$。所以 $\operatorname{occ}(s[l',r_1])\le \operatorname{occ}(s[l',r_2])$，可以结合引理 3.2.4导出二者在同一等价类中。

我们知道，DAG 上走字符为 $c$ 的转移边时，这个结点所代表的字符串都会在末尾加上 $c$。所以，我们还需要说明某一等价类的顶行处的 $T_1$ 树边可以被分成若干组，每一组边都需要满足：

• 顶行上的每个点都必须恰好关联该组内的一条边。

• 这些边指向同一个等价类的同一行。

• 顶行上横坐标之差为 $\delta$ 的两个点，关联的边指向的点的横坐标之差仍然为 $\delta$。这是因为同时加入一个字符后字符串相对长度不变。

可以证明满足这些限制的一组边就可以对应到 DAG 上的一条转移边。

下面这个定理就是在做这个工作。

定理 3.4

如果两个正串/反串 SAM 节点 $u,v$ 在同一个等价类中，那么这两个点在 parent 树上的子树除根节点外结构完全相同。

结构完全相同指可将子树内的点一一对应，使其作为无根树同构，且对应的点满足：包含的串的个数，$\operatorname{occ}$ 大小均相同。进一步的，对应的 SAM 节点在阶梯状网格图的相对位置（两行/列之间的距离）均与 $u,v$ 在阶梯状网格图的相对位置（两行/列之间的距离）相同。

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证明

以正串 SAM 为例。在一个等价类中任取两行，记它们对应的 SAM 结点为 $u,v$。设 $b_u,b_v$ 分别为 $u,v$ 包含的最长的字符串。不妨设 $|b_u|\le |b_v|$。

因为 $u,v$ 同在一个等价类中，且一个等价类中的左边界对齐，所以 $\operatorname{posl}(b_u)=\operatorname{posl}(b_v)$。

设 $k=\operatorname{occ}(b_u),\delta=|b_v|-|b_u|$，则可以找出 $b_u$ 的出现位置按左端点升序排序为 $s[l_1,r_1],s[l_2,r_2],\dots,s[l_k,r_k]$，而 $b_v$ 为 $s[l_1,r_1+\delta],s[l_2,r_2+\delta],\dots,s[l_k,r_k+\delta]$。由引理 3.2.5，$\forall 1\le i\le k,1\le j\le l_k$，$s[j,r_i]$ 和 $s[j,r_i+\delta]$ 在同一等价类中，且在平面上的相对位置和 $b_u,b_v$ 的相对位置相同。我们就称“$s[j,r_i]$ 对应 $s[j,r_i+\delta]$”。

注意到，$u$ 子树中的串恰巧可以表示为 $\{s[j,r_i]:1\le i\le k,1\le j<l_i\}$，$v$ 子树同理。因此，这个对应关系可以使得 $u$ 子树内串的 trie 和 $v$ 子树内串的 trie 作为无根树同构，且对应的结点的 $\operatorname{occ}$ 相同。将 trie 的二度点缩掉就得到了 parent 树。

进一步地，刚刚的分组要求可以在下面这个推论中体现：

推论 3.2.4

可以把一个块的上边界连出的边分成若干组，每组会连向某个其他块一段连续且对齐的下边界。组数即 parent 树上的儿子个数。对于左边界同理。

Fig 3.5 树边分组示意图

现在在基本子串结构上，一行走 $T_1$ 树边的整体转移与在 DAG 上走一条字符边的性质无异，我们只需要按照字符对应起来。根据推论 3.2.4，我们只需要随便取出一行上的一个点出来，将它在 $T_1$ 上的树边和 DAG 上的字符边对应起来即可。

于是，我们得到：

引理 3.2.6

对于一个 $T_0$ 上的点，如果其不对应其所在块的上边界，那么它在 SAM 上有且仅有一条出边，连向它上面的行所对应的节点；如果其对应的是上边界，则它的所有出边即连向从该上边界用另一棵 SAM 的 parent 树边连出能到的所有下边界表示的 SAM 节点。

对于 $T_1$ 上的点类似。

这样，我们就将 DAG 的结构完全用另一个 SAM 的 parent 树替代了。

3.3 构建

光说无益，没有构建算法的话基本子串结构就还是空中楼阁。

细想一下，要构建基本子串结构，我们只需要做好几件事——首先构建 SAM，其次识别代表元并初步确定等价类，然后划分等价类，最后按顺序安放行和列。

令 $n=|s|$。以下是详细过程：

构建正反 SAM

众所周知，SAM 可以在 $O(n)$ 时间内完成构建。

以下就称正串 SAM 为“正 SAM”，反串 SAM 为“反 SAM”。

识别代表元

根据引理 3.2.6，我们只需要识别出来正反 SAM 哪些结点包含等价类的代表元即可。

注意到，代表元必然是一个 SAM 结点包含的最长的字符串。因此，我们可以考虑“枚举”正 SAM 上每一个结点的最长字符串。同时注意到，根据平面上点的分布规律，正 SAM 上一个结点的最长字符串必然落在同一列（等价类的左边界）上；而其中，代表元又是该列最长的那个字符串。因此，如果我们可以对于正 SAM 的每一个结点，找到其最长字符串所在的反 SAM 结点，就可以通过比较长度，知道该字符串是否为代表元。顺便，我们还完成了“将两个 SAM 的等价类对应起来”的工作。

按 论文中判断是否为等价类边界的方法为“检查自动机上的出边”，对应等价类的方法为“找到代表元的 $\operatorname{posl}$ 和 $\operatorname{posr}$”。正确性不必多说，但是似乎很难保证线性复杂度？

Fig 3.6 检查左边界上的最长字符串

具体到实现，我们可以对于正 SAM 的 DAG 做 DFS 或 BFS，每次只沿着 $\text {mx}_v=\text{mx}_u+1$ 的弧 $u\rightarrow v$ 进行转移。同时，在反 SAM 上维护当前走过的路径代表的字符串所在的结点。因为是一直在向后加字符，所以反 SAM 上一直走的是树边。为了处理这个过程，需要提前预处理反 SAM 上各个字符转移到的儿子。这样就是 $O(n)$ 的。

如果对于复杂度要求不高的话，在反 SAM 上找对应时则可以“先在原串上定位区间，再在反 SAM 的 parent 树上树上倍增”解决，复杂度变为 $O(n\log n)$。

划分等价类

现在我们只需要确定不包含代表元的结点所在的等价类编号即可。

根据引理 3.2.6，这些结点在 DAG 上必然只有一条出边。现在我们需要一个正确的编号顺序，使得给某个未划分结点确定等价类时，其出边指向的结点已经被确定了等价类，那么毫无疑问按照 $\text{mx}$ 从大到小扫描即可。

实际实现时，按照 SAM 的结点编号倒着扫描也是一个合理的顺序，原因暂时未知。

排序行列

把行列放到等价类里面已经不是问题，现在我们需要将它们排序。具体来说，行应当按照 $r$ 有序，而列应该按照 $l$ 有序。“但其天然与 SAM 构建时加入的顺序相同”，故可以直接按照 SAM 的编号将行列放到等价类里面。

具体什么原理搬运人也不是很清楚。可能是因为 SAM 增量构建的过程中，同一等价类内部的行和列都是有序出现的吧。

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至此，一个完整的基本子串结构就已经建立了。上面介绍的是一个离线的 $O(n)$ 的算法，实现并不复杂；同时也存在更加简单粗暴的 $O(n\log n)$ 算法。

至于在线构建算法，论文之中没有提到，搬运人也不会，故还有待探索！

3.4 应用

我们将通过论文例题和其他题目简单展示一下基本子串结构的应用。

因为这个结构还比较新，所以相关应用可能还不是很多。

例题 3.1.1

题目见前文。

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解法

知道了结点，自然就可以知道它们所在的等价类和它们对应的行和列。

如果它们不在同一个等价类，则交集显然为空。如果在一个等价类中，则交集为行列包含的点的交集。

下面这个例题是比较新的，通过它可以一窥基本子串结构的强大。

例题 3.4.1（「CF1817F」Entangled Substrings）

给定一个字符串 $s$，你需要求出有多少个字符串有序对 $(a,b)$ 满足：

1. $a,b$ 都是 $s$ 的非空子串。

2. 存在一个可为空的字符串 $c$ 使得：

   • 若 $s[l,r]=a$，则 $s[l,r+|c|+|b|]=acb$。

   • 若 $s[l,r]=b$，则 $s[l-|c|-|a|,r]=acb$。

   也即，$a,b$ 仅会在 $acb$ 这样的子串中出现。

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解法

很显然，题目条件就是 $a,b$ 要和 $acb$ 在同一个等价类中。

假设我们已知 $acb$ 对应的点，坐标为 $(l_0,r_0)$，那么 $a$ 的坐标一定是形如 $(l_0,r)$，$b$ 的坐标一定是形如 $(l,r_0)$。同时，因为 $a,b$ 要在同一个等价类中，所以还应该存在边界 $r_a,l_b$，以限制 $r_a\le r\le r_0,l_0\le l\le l_b$。

根据坐标的性质，一定有 $r_a\ge l_0,l_b\le r_0$。注意到合法的 $acb$ 还应该满足 $r<l$，所以我们要统计的就是满足 $l_0\le r_a\le r<l\le l_b\le r_0$ 的 $(l,r)$ 对数。很容易知道结果为 $\sum_{l=r_a}^{l_b}l-r_a=\frac{(l_b-r_a)(l_b-r_a+1)}{2}$。

我们可以枚举 $r_a$，这样可行的 $l_b$ 对应于行的前缀（从上到下）。此时计算只需要知道 $\sum l_b^2,\sum l_b,\sum 1$，所以维护好这几个和就可以了。阶梯状图形自带的单调性使得我们可以双指针 $O(n)$ 解决本题。

参考代码。

基本子串结构也可以完成某些 SAM 变种可以完成任务。下面这个例题原本的解法需要用到对称压缩 SAM，但是利用好基本子串结构解决它也并不困难：

例题 3.4.2（「UOJ577」打击复读）

给定长度为 $n$ 的字符串 $s$，第 $i$ 个字符有两个权值：左权值 $wl_i$ 和右权值 $wr_i$。定义一个子串 $s[l, r]$ 的左权值 $vl(s[l, r])$ 为：其在原串中各个出现位置的左端点的左权值 $wl$ 和；右权值 $vr(s[l, r])$ 为：其在原串中各个出现位置的右端点的右权值 $wr$ 和。定义一个子串 $s[l, r]$ 的复读程度是它的左权值与右权值的乘积，即 $w(s[l, r]) = vl(s[l, r])\cdot vr(s[l, r])$。

s 的复读程度定义为所有子串复读程度的和，即：

$$\sum_{i=1}^{|S|}\sum_{j=i}^{|S|}w(s[i,j])$$

$q$ 次修改某个 $wl_i$ ，查询整串的复读程度，对 $2^{64}$ 取模。

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解法

注意到，整串的复读程度一定可以被表示为 $wl$ 的线性组合，所以求出各个 $wl$ 的系数就可以 $O(q)$ 解决所有询问。

首先将原串的正反 SAM 建出来。那么，对于一个子串 $t$ 而言，$vr(t)$ 仅仅和其所在的正 SAM 结点（即 $T_0$ 结点）有关，$vl(t)$ 仅仅和其所在的反 SAM 结点（即 $T_1$ 结点）有关。而 $T_0$ 结点对应的 $vr$ 和 $T_1$ 结点对应的 $vl$ 其实都是子树和。

将这个问题放到基本子串结构上，则相当于等价类的每一行有一个权值 $vr$，每一列有一个权值 $vl$，$t$ 的权值就是所在行列的权值的乘积。会和某一个 $vl$ 乘起来的 $vr$ 一定是一段行的前缀（从上到下），所以滚一个前缀和即可知道 $vl$ 的系数。再将 $vl$ 的系数反着推到 $wl$ 上就得到了 $wl$ 的系数。

时间复杂度为 $O(n+q)$。参考代码。

值得一提的是，根据论文的说法，对称压缩 SAM 实际上就是将每个等价类压缩成了一个结点，两棵 parent 树的边就形成了两个方向的自动机的结构。

处理子串的子串的信息时，基本子串结构告诉我们，你实际上就是在做一个二维数点：

例题 3.4.3（「UOJ697」广为人知题）

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$，字符集为小写英文字母。

给定 $m$ 个模式串，第 $i$ 个为 $s[\mathrm{tl}_i \cdots \mathrm{tr}_i]$（$s$ 的下标从 $1$ 开始）。

现有 $q$ 次查询，每次给出 $[\mathrm{ql}_i, \mathrm{qr}_i]$，求所有模式串在 $s[\mathrm{ql}_i \cdots \mathrm{qr}_i]$ 中的出现次数之和。

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解法

（和论文的做法有出入，但是本质相同）

考虑对于每一个模式串，在平面上将它的出现位置对应的点的权值全部 $+1$。那么，一次询问就是在 $\{(x,y):x\ge \mathrm{ql},y\le \mathrm{qr}\}$ 的范围内求点的权值和。

注意到询问的答案和 $s[\mathrm {ql},\mathrm {qr}]$ 所在的位置无关，所以我们可以去掉它的位置，转而在 $s[\mathrm {ql},\mathrm {qr}]$ 所在的等价类里面考虑这个询问。

考虑将贡献分为“与 $(\mathrm{ql},\mathrm{qr})$ 同在一个等价类的”和“在 $(\mathrm{ql},\mathrm{qr})$ 所在等价类之外的”。前者因为总共点数为 $O(m)$，所以可以直接二维数点解决。

第二种贡献则需要对于等价类之外的区域划分。首先按照列划分，如下图所示：

Fig 3.7 平面划分

等价类中若有 $c$ 列，则将前 $c$ 列单独划分出来（蓝色区域）；右侧则会剩一块区域没有被等价类的列覆盖到，可以将它们全部划分为一块（绿色区域）。

蓝色区域对应的是 $T_1$ 上祖先包含的权值之和，可以预处理；绿色区域则为另一个等价类的代表元进行询问得到的结果，也可以提前处理出来。

此时就可以算出 $\{(x,y):x\ge \mathrm{ql}\}$ 部分的答案。而减去 $\{(x,y):x\ge \mathrm{ql},y>\mathrm {qr}\}$ 就相当于减去行的前缀的右侧部分，对应的是每一行 $T_0$ 上祖先包含权值之和的前缀和，仍然可以预处理。

此外，定位子串所在等价类的复杂度为 $O((m+q)\log n)$，于是我们就得到了一个 $O(n+(m+q)\log n)$ 的做法。

参考代码，但是我写的常数太大了，跑不过 $\log^2n$。

最后看一眼 SDOI2022 吧家人们：

例题 3.4.4（「SDOI2022/SXOI2022」子串统计）

给定长度为 $n$ 的字符串 $s$。令 $T_0 = s$。每次删除 $T_i$ 的开头或结尾的字符，得到新的字符串 $T_{i+1}$，经过 $n − 1$ 次操作之后，会得到只有一个字符的串 $T_{n−1}$。根据每次删除的选择，一共有 $2^{n−1}$ 种可能的操作序列。

对于一个操作序列，记其权值为：

$$\prod_{i=1}^{n-1} \operatorname{occ}_s(T_i)$$

求出所有操作序列的权值和，对 $998244353$ 取模。

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解法

一个操作序列实际上是“从平面上 $(1,n)$ 出发，每次只能向下或向右走，走到任意一个 $(x,x)$"的一条路径。它的权值几乎就是经过的每个结点的 $\operatorname{occ}$ 之和。

注意到，一个等价类中的 $\operatorname{occ}$ 全部相同，因此可以想到将一个等价类中的放到一起转移。为了计算的方便，计算时反着考虑路径，也就是从 $(x,x)$ 推到 $(1,n)$。

在一个等价类中，假设阶梯状边界上的点所在行列为 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots,(a_m,b_m)$，到各个点的权值和为 $f_1,f_2,\dots,f_m$，则贡献到第一行的 OGF 形如 $\sum_{i=1}^m\frac{x^{a_i}\cdot f_i\operatorname{occ}^{b_i}}{(1-\operatorname{occ}x)^{b_i+1}}$。因为 $a,b$ 同调，所以可以分治算出这个分式。

一个等价类的复杂度为 $O(\operatorname{per}(a)\log^2n)$，总复杂度即为 $O(n\log^2n)$。

没有参考代码......

4 基本子串结构上的树链剖分

咕且姑着。