「ARC134E」Modulo Nim
题目
点这里看题目。
有一个长度为 \(n\) 的非负整数序列 \(\{a_i\}_{i=1}^n\)，Amily 和 Bonnie 会在上面玩一个游戏。
双方会轮流执行如下操作，且 Amily 先手：
设 \(M=\max_{1\le i\le n} a_i\)。
如果 \(M=0\)，则当前操作的一方获胜。
否则，操作方需要选定一个 \([1,M]\) 内的整数 \(x\)，并对于 \(1\le i\le n\)，令 \(a_i\gets a_i\bmod x\)。
但是，将进行游戏的 \(a\) 序列尚未确定。具体来说，有另一个正整数参数序列 \(\{R_i\}_{i=1}^n\) 用于生成 \(\{a\}\)：对于 \(1\le i\le n\)，\(a_i\) 会是 \([1,R_i]\) 中的一个整数。
Amily 想要知道，在所有的 \(\prod_{i=1}^n R_i\) 种情况中，有多少种情况可以使她有必胜策略？你只需要告诉她答案对 \(998244353\) 取模后的结果。
所有数据满足 \(1\le n\le 200,1\le R_i\le 200\)。
分析
有了 NOI 2022 的糟糕经历，看到这种题就难受起来了。
按部就班。首先考虑给定一个序列时，如何判定 Amily 是否有必胜策略。在此之前，我们注意到重复的数变化一致，所以我们仅仅关心序列的值的集合，记其为 \(S\)。顺便记 \(M=\max S\)。
常规想法：思考一些“傻瓜策略”，看能不能奏效。具体过程见下：
-
如果 \(M=0\)，那么是必胜的，
甚至不用策略。 -
如果 \(x=1\)，此时必须有 \(M\ge 1\)。这是“必败策略”。
-
如果 \(x=2\)，此时必须有 \(M\ge 2\)。
注意到，一旦存在奇数，则 Amily 操作后 Bonnie 拿到的就是 \(S=\{1\}\) 或 \(S=\{0,1\}\)，总之就是必败。
所以，如果存在奇数则必胜。相应地，之后讨论时我们假设 \(S\) 中的数全为 \(2\) 的倍数。
-
如果 \(x=4\)，此时必须有 \(M\ge 4\)。
类似地，此时如果存在 \(4k+2\) 的数，则 Amily 操作后 Bonnie 拿到的非 \(S=\{2\}\) 即 \(S=\{0,2\}\)，仍然必败。
所以，如果存在非 \(4\) 倍数则必胜。
-
如果 \(x=3\)，此时必须有 \(M\ge 3\)。
无非是讨论余数存在情况。此时我们发现，如果 \(3k+1\) 和 \(3k+2\) 恰好有一个存在则可以获胜。
当然可以接着讨论，但是就太麻烦了。而且我们也意识到讨论所有 \(x\) 并不现实。为了结束无休无止的讨论，我们的办法就是把剩下的两个情况全部讨论出来：
-
如果 \(3k+1\) 和 \(3k+2\) 同时存在，且 \(S\) 中的数全是 \(4\) 的倍数。
这一类情况中，\(M\) 最小的 \(S\) 为 \(\{4,8\}\)，经过暴力验证发现它不存在 Amily 的必胜策略。
更大的情况可以打表找规律，结果就是这种情况下只有 \(\{4,8\}\) 没有必胜策略，其它都有。
Note.
我也尝试过打表，但是一头雾水。
问题在于打表没有针对性。如果可以结合讨论的结果，那么一些结论就很好发现了。
对于这一点有一个很巧妙的构造——除了 \(\{4,8\}\) 之外，其它情况下 \(M>12\)，而上面的讨论仅和元素模 \(12\) 的余数相关，所以操作一次 \(x=12\) 不会改变讨论结果。因此，\(M>12\) 时，如果上面讨论出了必胜策略则直接操作，否则可以先操作 \(x=12\)，让 Bonnie 拿到必败态，这样 Amily 还是有必胜策略。
-
否则，\(S\) 中的数全是 \(12\) 的倍数。
我们注意到，此时我们可以 \(O(M)\) 地判断一个 \(S\) 是否有必胜策略：只需要枚举第一次操作的 \(x\)，之后的就可以套用讨论的结果。
事实上，“全是 \(2\) 的倍数”、“全是 \(4\) 的倍数”也可以这样操作。但这种情况和它们有本质区别——可能的 \(12\) 的倍数只有 \(16\) 个，也就是 \(S\) 只有 \(2^{16}-1\) 种情况。我们完全可以暴力检查这 \(2^{16}-1\) 种情况是否有必胜策略！
Remark.
如果你对数据范围起过疑心，那么也应当可以想到暴力检查的策略。
上面的讨论还指出，不存在必胜策略的情况非常少，所以我们减去这样的局面的数量即可。各个情况之间没有重叠，因此操作起来并不困难，不过需要额外注意一些 \(M\) 较小的必败局面。
代码
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )
const int mod = 998244353;
const int MAXN = 205, MAXS = ( 1 << 12 ) + 5, MAXL = ( 1 << 16 ) + 5;
template<typename _T>
inline void Read( _T &x ) {
x = 0; char s = getchar(); bool f = false;
while( s < '0' || '9' < s ) { f = s == '-', s = getchar(); }
while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
if( f ) x = -x;
}
template<typename _T>
inline void Write( _T x ) {
if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if( 9 < x ) Write( x / 10 );
putchar( x % 10 + '0' );
}
int lrg[MAXL];
int f[2][MAXL];
int g[2][4];
int A[MAXN];
int N, mx = 0;
inline int Mul( int x, const int &v ) { return 1ll * x * v % mod; }
inline int Sub( int x, const int &v ) { return ( x -= v ) < 0 ? x + mod : x; }
inline int Add( int x, const int &v ) { return ( x += v ) >= mod ? x - mod : x; }
inline int& MulEq( int &x, const int &v ) { return x = 1ll * x * v % mod; }
inline int& SubEq( int &x, const int &v ) { return ( x -= v ) < 0 ? ( x += mod ) : x; }
inline int& AddEq( int &x, const int &v ) { return ( x += v ) >= mod ? ( x -= mod ) : x; }
inline bool ChkMEq2( const std :: vector<int> &vec ) {
for( const int &x : vec )
if( x % 2 == 1 ) return true;
return false;
}
inline bool ChkMEq3( const std :: vector<int> &vec ) {
bool rem[3] = {};
for( const int &x : vec )
rem[x % 3] = true;
if( ( rem[1] && ! rem[2] ) || ( rem[2] && ! rem[1] ) )
return true;
if( rem[1] && rem[2] )
return ! ( vec.size() == 2u && vec[0] == 4 && vec[1] == 8 );
return false;
}
inline bool ChkMEq4( const std :: vector<int> &vec ) {
for( const int &x : vec )
if( x % 4 == 2 ) return true;
return false;
}
inline std :: vector<int> Modular( std :: vector<int> vec, const int &m ) {
std :: vector<int> ret;
for( int &x : vec ) x %= m;
std :: sort( vec.begin(), vec.end() );
vec.erase( vec.end() = std :: unique( vec.begin(), vec.end() ), vec.end() );
for( const int &x : vec )
if( x > 0 ) ret.push_back( x );
return ret;
}
bool DFS( const std :: vector<int> &vec ) {
if( vec.empty() ) return true;
int up = 0;
for( const int &x : vec )
up = std :: max( up, x );
if( vec.size() == 1u ) return vec[0] > 2;
if( up >= 2 && ChkMEq2( vec ) ) return true;
if( up >= 3 && ChkMEq3( vec ) ) return true;
if( up >= 4 && ChkMEq4( vec ) ) return true;
if( up >= 3 && vec.size() == 2u && vec[0] == 4 && vec[1] == 8 ) return false;
int S = 0;
for( const int &x : vec )
S |= 1 << ( x / 12 - 1 );
if( ~ lrg[S] ) return lrg[S];
lrg[S] = 0;
for( int m = 5 ; m <= up ; m ++ )
if( ! DFS( Modular( vec, m ) ) ) {
lrg[S] = 1; break;
}
return lrg[S];
}
inline bool Chk( const int &S ) {
std :: vector<int> vec;
for( int i = 0 ; i < mx ; i ++ )
if( S >> i & 1 ) vec.push_back( ( i + 1 ) * 12 );
return DFS( vec );
}
inline bool Only2() {
rep( i, 1, N )
if( A[i] < 2 )
return false;
return true;
}
inline bool Only1() {
rep( i, 1, N )
if( A[i] < 1 )
return false;
return true;
}
int main() {
Read( N ); int ans = 1;
rep( i, 1, N ) {
Read( A[i] );
MulEq( ans, A[i] );
mx = std :: max( mx, A[i] );
}
int pre = 1, nxt = 0;
mx /= 12, f[nxt][0] = 1;
rep( i, 1, N ) {
pre ^= 1, nxt ^= 1;
for( int S = 0 ; S < ( 1 << mx ) ; S ++ ) {
if( ! f[pre][S] ) continue;
for( int j = 0 ; j < mx ; j ++ )
if( 12 * ( j + 1 ) <= A[i] )
AddEq( f[nxt][S | ( 1 << j )], f[pre][S] );
f[pre][S] = 0;
}
}
memset( lrg, -1, sizeof lrg );
for( int S = 0 ; S < ( 1 << mx ) ; S ++ )
if( ! Chk( S ) ) SubEq( ans, f[nxt][S] );
pre = 1, nxt = 0, g[nxt][0] = 1;
rep( i, 1, N ) {
pre ^= 1, nxt ^= 1;
for( int S = 0 ; S < 4 ; S ++ ) {
if( ! g[pre][S] ) continue;
if( A[i] >= 4 ) AddEq( g[nxt][S | 1], g[pre][S] );
if( A[i] >= 8 ) AddEq( g[nxt][S | 2], g[pre][S] );
g[pre][S] = 0;
}
}
SubEq( ans, g[nxt][3] );
SubEq( ans, Only1() );
SubEq( ans, Only2() );
Write( ans ), putchar( '\n' );
return 0;
}
