UNR #6 题解

「UOJ747」面基之路

难得有一道我做得起的水题。

尝试二分答案，判定等价于检查是否存在一个点，使得在规定时间内 hehe 蚤和网友们都可以走到该点。检查能否走到某个结点是容易的，检查某条边上是否存在一个点相当于是检查集合的交集是否为空，转化成区间的并集是否覆盖了整条边，可以将区间排序之后扫描端点。

复杂度为 $O(nk\log V\log k)$，虽然复杂度很高但是跑起来挺快的。如果去掉外层二分也可以，这样的话每个人到边上某一点的时间可以描述为一个凸函数，我们就是要对于凸函数取 $\max$ 之后算最小值。

不过我听说好像有人写这个算法写挂了，那就先不管了吧。

「UOJ748」机器人表演

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「UOJ749」稳健型选手

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「UOJ750」小火车

一道题让我彻底感受到了自己的愚蠢

等价于求“是否存在两个不同的子集的和 $\bmod p$ 之后相等”。由于我们保证了 $2^n>p$，因此必然存在解。

设 $f_s$ 表示子集和 $\bmod p$ 后为 $s$ 的子集个数。我们要做的就是找出 $f_s$ 中某一个 $>1$ 的位置。

主动一点，我们尝试直接二分答案。二分一个上界 $r$，我们相当于要求 $\sum_{s=0}^rf_s$，如果这个和 $>r+1$，那么 $[0,r]$ 之中必然存在一个 $s$ 使得 $f_s>1$，否则就不存在。

Remark.

虽然想到了 $f$，也想到了要找一个 $>1$ 的位置，但是始终没有想到直接去 $f$ 上二分。

查找的手段不够熟悉。也被之前见过的类似的题目误导了。

怎么计算 $f_s$ 某一位置上的前缀和？结合数据范围，我们可以想到 meet-in-middle。值得注意的是，左右两侧的子集的和可以预先 $\bmod p$，这样两边的子集加起来最多是 $2p-2$，因此我们只需要考虑子集和落在 $[0,r]$ 和落在 $[p,p+r]$ 两种情况，双指针扫一扫即可。

找到了 $r$ 之后，寻找一组解的过程也可以双指针。复杂度即为 $O(n2^n)$。

「UOJ751」神隐

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「UOJ752」Border 的第五种求法

20pts 的做法是容易的，60pts 的做法不知所云（Border 的长度结构为人熟知，但是 Border 的出现次数结构我是听都没有听说过）。

Border 的概念是同时作为前缀和后缀的串。后缀在 SAM 上的结构是显然的，就是后缀树链，但是前缀的结构不容易看到。如果单纯从后缀树的角度来看，前缀只能由 $\operatorname{endpos}$ 来表征，不容易作为判断 Border 的依据。

Note.

如果一定要从后缀树的角度来看的话，我们至少可以得出这样的结论——后缀树链上每一个结点内至多只包含一个 Border。

但是有什么用呢？😢

此时就要用到 SAM 的另一个组成部分 DAWG。前缀通过“逐个加字符”的方式生成，这个生成方式在 DAWG 很容易找到对应的转移路径。

那么，询问 $[l,r]$ 的子串信息时，我们可以在 DAWG 上找出 $s[l,r]$ 对应的路径，路径上结点和后缀树链上结点的交集恰好就是 Border 对应的结点集合。我们把这些结点的 $\operatorname{endpos}$ 的权值加起来就是答案。

为了解决 DAWG 的路径问题，我们对于 DAWG 做剖分，就可以将 DAWG 上结点的集合拆分成 $O(\log n)$ 个区间。后缀树链的结构比较好，我们可以做一个 DFS，维护当前树链上的点在 DAWG 剖分上的出现情况，这样就可以直接查和了。

怎么将 $s[l,r]$ 拆分成 DAWG 上的路径？每次在一条重链上二分，用 hash 判一下就好了。

复杂度可以做到 $O(n\log n+q\log^2n)$。

Remark.

很多时候都忽略了 SAM 的 DAWG，而仅仅用上了后缀树。这样是对于 SAM 的弱化，从 Border 的问题中，我们也能看到后缀树的羸弱无力（毕竟它是后缀树，只有一个“方向”）。

这导致我常常以为 SAM 在处理前缀信息的时候会很吃力。但现在结合了 DAG 剖分之后，DAWG 的结构也能够很好地刻画前缀的信息。这是一个很好的出发点。