「LNOI2022」盒
题目
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分析
设 \(p_j=\sum_{k=1}^ja_k,S=p_n\)。
一眼写出答案：
然后只会 \(O(nm)\) 算。
实际上，把绝对值拆开之后，我们要着力解决的是：
注意到，我们可以将 \(k\binom{k+j-1}{j-1}\) 变成 \(j\binom{k+j-1}{j}\)，而这个东西形式和 \(\binom{k+j-1}{j-1}\) 类似，所以我们最终只需要集中精力解决一个：
其中 \(c_j\) 是一个只和 \(j\) 相关的系数。
手玩一下，后面那个东西没有办法很好地得到一个通项。这个时候，我们就应当及时考虑其它角度切入。比如，如果通项求不出来，递推行不行呢？
虽然看起来这里只有一个外加参数 \(j\)，但是我们必须注意到，这个 \(p_j\) 实际上和 \(j\) 几乎一点关系没有，因此我们最好考虑两个变量递推。考虑：
首先，从 \(f_{j,l}\rightarrow f_{j,l+1}\) 是很容易的。注意到 \(p_j\) 和 \(j\) 同调，因而我们考虑从 \(f_{j,l}\rightarrow f_{j+1,l}\)。
构造组合意义
使用组合意义，但我自己先被消灭了。
为了得到一个比较良好的组合意义，我们最好先细致把玩一下对象。
如果我们去掉求和上界，那么这个和式很容易被化简：
但是，反过来，去掉上界之后得到的是超集的结果，那么 \(f_{j,l}\) 必然是 \(\binom{S+n-1}{n-1}\) 某些地方被限制之后的结果。并且，我们还可以注意到 \(\binom{S+n-1}{n-1}\) 和 \(j\) 无关！因此，我们最好从 \(\binom{S+n-1}{n-1}\) 入手，来构造一下 \(f_{j,l}\) 的组合含义。
考虑 \(\binom{S+n-1}{n-1}\) 的基本含义：从 \([1,S+n-1]\) 的整数中选出 \(n-1\) 个互不相同的整数。不妨设这些整数从小到大为 \(q_1,q_2,\dots,q_{n-1}\)。那么，结合 \(j\)，我们发现 \(k\) 实际上是在枚举 \(q_j\)，而上界的含义即为 \(q_j\le l+j\)。
接着，从 \(f_{j,l}\) 到 \(f_{j+1,l}\) 是怎样变化的呢？我们修改了限制对象，现在得考虑 \(q_{j+1}\le l+j+1\)。而另一方面，我们延续上面的想法，讨论一下 \(q_j\le l+j\) 和 \(q_{j+1}\le l+j+1\) 之间的联系——容易发现后者为前者的充分条件。反过来，从 \(f_{j,l}\) 到 \(f_{j+1,l}\)，就只需要减去合乎 \(q_j\le l+j\) 而不合 \(q_{j+1}\le l+j+1\) 的 \(\{q_j\}_{1\le j<n}\) 即可——这也就意味着 \(q_j\le l+j,l+j+1<q_{j+1}\)。这个条件下，前 \(j\) 个和后 \(n-1-j\) 个完全独立开了，我们可以直接计算。因而：
最后，可以 \(O(n+S)\) 地解决单组询问。
直接数学推导
组合数有很好的差分和求和形式，因此我们考虑利用这条性质，来拆开 \(f_{j+1,l}\) 中的组合数，以期得到 \(f_{j,l}\)，并计算剩下的系数。
为了方便，这里先做一下代换：设 \(u=n-j,v=S-k+u,w=k+j\)。则：
恰好就和上面的组合意义对上了。
所以，还是数学推导好啊。不对，那为啥一开始我没看出来？
理论上来说，应该还剩下一个类似的 \(j\binom{k+j-1}{j}\) 亟待解决。不过，考虑到它的推导过程几乎完全一致，这里就略去不谈了。
最后，由于 \(j\) 和 \(p_j\) 都是单调的，我们可以直接维护 \(f_{j,l}\) 的值，进行某一维上的单步转移。单组复杂度为 \(O(n+S)\)。
小结：
-
首先，
能想到递推这个角度，对我来说就很已经很恼火了。但是，我们必须注意到，计数问题中，一个和式的最后结果其实形式单一，基本上非通项即递推。因此，一条路走不通的时候，不要太怀疑，很有可能另一条就是明路 😄。 -
观察变量之间的联系：比如，\(p_j\) 和 \(j\) 其实基本上没有联系，因此我们才会选择两个变量递推。联系很强的，又是另一个故事了。
-
注意这里构造组合意义的小技巧：
1.主动去考虑限制更松或更紧的情况，构造新限制下的组合对象；接着再考虑新对象和原来限制有什么关系，尝试反推出组合意义。
2.主动讨论限制的变化，从而转化得到需要的 \(\Delta\) 或者比率之类的。
代码
#include <cstdio>
#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )
const int mod = 998244353;
const int MAXN = 5e5 + 5, MAXS = 4e6 + 5;
template<typename _T>
void read( _T &x ) {
x = 0; char s = getchar(); bool f = false;
while( ! ( '0' <= s && s <= '9' ) ) { f = s == '-', s = getchar(); }
while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
if( f ) x = -x;
}
template<typename _T>
void write( _T x ) {
if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if( 9 < x ) write( x / 10 );
putchar( x % 10 + '0' );
}
int fac[MAXS], ifac[MAXS];
int p[MAXN], A[MAXN], W[MAXN];
int N, S;
inline int Qkpow( int, int );
inline int Inv( const int &a ) { return Qkpow( a, mod - 2 ); }
inline int Mul( int x, const int &v ) { return 1ll * x * v % mod; }
inline int Sub( int x, const int &v ) { return ( x -= v ) < 0 ? x + mod : x; }
inline int Add( int x, const int &v ) { return ( x += v ) >= mod ? x - mod : x; }
inline int& MulEq( int &x, const int &v ) { return x = 1ll * x * v % mod; }
inline int& SubEq( int &x, const int &v ) { return ( x -= v ) < 0 ? ( x += mod ) : x; }
inline int& AddEq( int &x, const int &v ) { return ( x += v ) >= mod ? ( x -= mod ) : x; }
inline int C( int n, int m ) { return n < m || m < 0 ? 0 : Mul( fac[n], Mul( ifac[m], ifac[n - m] ) ); }
inline int Qkpow( int base, int indx ) {
int ret = 1;
while( indx ) {
if( indx & 1 ) MulEq( ret, base );
MulEq( base, base ), indx >>= 1;
}
return ret;
}
inline void Init( const int &n = 4e6 ) {
fac[0] = 1; rep( i, 1, n ) fac[i] = Mul( fac[i - 1], i );
ifac[n] = Inv( fac[n] ); per( i, n - 1, 0 ) ifac[i] = Mul( ifac[i + 1], i + 1 );
}
int main() {
freopen( "box.in", "r", stdin );
freopen( "box.out", "w", stdout );
Init();
int T; read( T );
while( T -- ) {
read( N ), S = 0;
rep( i, 1, N ) read( A[i] );
rep( i, 1, N - 1 ) read( W[i] );
rep( i, 1, N ) p[i] = p[i - 1] + A[i];
S = p[N];
int ans = 0, l = 0, res = C( S + N - 2, N - 2 );
rep( j, 1, N - 1 ) {
while( l < p[j] ) l ++,
AddEq( res, Mul( C( l + j - 1, j - 1 ), C( S - l + N - j - 1, N - j - 1 ) ) );
AddEq( ans, Mul( Mul( p[j], W[j] ), res ) );
SubEq( ans, Mul( Mul( p[j], W[j] ), Sub( C( S + N - 1, N - 1 ), res ) ) );
if( j < N - 1 )
SubEq( res, Mul( C( l + j, j ), C( S + N - l - j - 2, N - j - 1 ) ) );
}
l = 0, res = 0;
rep( j, 1, N - 1 ) {
for( ; l < p[j] ; l ++ )
AddEq( res, Mul( C( l + j, j ), C( S - l + N - j - 2, N - j - 1 ) ) );
SubEq( ans, Mul( Mul( j, W[j] ), res ) );
AddEq( ans, Mul( Mul( j, W[j] ), Sub( C( S + N - 1, N ), res ) ) );
if( j < N - 1 )
SubEq( res, Mul( C( l + j, j + 1 ), C( S + N - l - j - 2, N - j - 1 ) ) );
}
write( ans ), putchar( '\n' );
}
return 0;
}
