数学杂谈 #14

Period and Border

简明的定义

• 字符集：表示字符串中所有可能出现的字符的集合，通常用 $\Sigma$ 表示。

  一般来说，我们遇到的字符集为小写字符集 $\Sigma=\{'a','b','c',\dots,'z'\}$。

• 字符串：字符串的集合可以用如下定义：

  $$S=\bigcup_{k\ge 0}\Sigma^k$$

  这个集合中的元素的直观理解就是我们通常所知的字符串——由若干个（可以为零个）字符集内的字符顺序构成的......一串东西。

  通常我们习惯用 $s$ 表示在当前字符集下的一个字符串。

• 字符串的长度：对于字符串 $s$，我们通常就用 $|s|$ 表示它的长度，也就是所含字符个数。

• 字符串的拼接：对于字符串 $u,v$，我们可以用 $uv$ 表示将 $v$ 的字符按照顺序添加入 $u$ 的末尾后得到的字符串。

• 子串：对于字符串 $s$，我们习惯于对于它的字符写成一行，然后从左往右按顺序编号为 $1,2,\dots,|s|$。

  如是我们可以用 $s[k]$ 表示编号为 $k$ 的字符。

  接着我们可以定义子串，用 $s[l:r]$ 表示 $s[l]s[l+1]\dots s[r]$ 拼接而成的字符串，且需要满足 $1\le l\le r\le |s|$。特别地，在某些情况下，我们会认为 $l>r$ 代表了 $s[l:r]$ 为空串，即不包含任何字符的字符串。

  较为特殊的子串是前缀和后缀。我们会用 $\newcommand{\Pre}{\operatorname{Pre}}\Pre(s,l)$ 表示 $s[1:l]$，用 $\newcommand{\Suf}{\operatorname{Suf}}\Suf(s,l)$ 表示 $s[|s|-l+1:|s|]$。自然需要满足 $1\le l\le |s|$，但当 $l=0$ 的时候，我们一般会认为 $\newcommand{\Pre}{\operatorname{Pre}}\Pre(s,0)$ 和 $\newcommand{\Suf}{\operatorname{Suf}}\Suf(s,0)$ 返回空串。

• 字符串的幂：如果我们将字符串的拼接看作是“乘法”操作，那么相应地，我们可以定义“幂”：用 $s^p$ 表示 $p$ 个 $s$ 的拼接结果。

  $p\in \mathbb N$ 的情况不多说。特别地，$p$ 可以是一个有理数。不妨设 $p=\frac{a}{b},\gcd(a,b)=1$，则 $s^p$ 表示 $\newcommand{\Pre}{\operatorname{Pre}}s^{\lfloor\frac{a}{b}\rfloor}\Pre(s,|s|\times \frac{a\bmod b}{b})$。这个定义带来了限制，也就是 $b| |s|$。

• 字符串的比较：对于字符串 $u,v$，如果 $|u|=|v|$ 且 $\forall 1\le k\le |u|,u[k]=v[k]$，我们就说 $u=v$。

Period

字符串可以看作是数列，数列可以看作是特殊的函数，因此字符串的周期也和函数的周期非常类似。这些东西有必然联系吗？

对于字符串 $s$，如果有整数 $0<T\le |s|$，且满足 $\forall1\le k\le |s|-T,s[k]=s[k+T]$，则称 $T$ 为 $s$ 的一个周期。

一般来说，我们主要在讨论最小正周期，因此我们可以用 $\newcommand{\Per}{\operatorname{Per}}\Per(s)$ 表示字符串 $s$ 的最小的周期。

一种等价的理解是，如果 $T$ 是 $s$ 的周期，那么 $s$ 就应该是 $\Pre(s,T)^{\infty}$ 的前缀，或者 $s=\Pre(s,T)^{\frac{|s|}{T}}$。

Weak Periodicity Lemma

这个叫做弱周期引理，至于为什么“弱”，待会儿你就知道了。内容如下：

对于一个字符串 $s$，如果有 $p,q$ 都是 $s$ 的周期，并且 $p+q\le |s|$，则可以得出 $\gcd(p,q)$ 也是 $|s|$ 的周期。

这个东西挺好理解的，也挺好证明的：

对于 $(p,q)$ 进行归纳证明。

首先，我们不妨假设 $p\le q$。边界的情况就是 $p=1$，此时 $\gcd(1,q)=1=p$，显然成立。

接着，考虑 $1<p\le q$ 的情况。假设该定理对于任意的 $(x,y)$ 都已被证明，其中 $x<p$ 或 $y<q$ 成立。

由于 $p+q\le |s|$，则对于 $1\le k\le |s|$，有 $k\le |s|-q$ 或 $k>p$ 其一成立。

前者可以推出 $s[k]=s[k+q-p]$，而后者可以推出 $s[k]=s[k-p+q]$。总而言之，我们得到了 $q-p$ 也是 $s$ 的一个周期。

由于 $q-p<q$，根据归纳假设可以知道 $\gcd(p,q-p)$ 也是 $s$ 的一个周期，所以 $\gcd(p,q)$ 也是 $s$ 的一个周期。

说白了，不就是辗转相除的过程吗。

Periodicity Lemma

这就是正版的周期引理。至于为什么不“弱”，你待会儿就知道了。内容如下：

对于一个字符串 $s$，如果有 $p,q$ 都是 $s$ 的周期，并且 $p+q\le |s|+\gcd(p,q)$，则可以得出 $\gcd(p,q)$ 也是 $s$ 的周期。

证明看起来非常复杂，这里就感性理解一下吧。

Border

直译过来应该叫做字符串的“边界”，不过我着实没有看见过任何一个人这样称呼它的。

不过，从词语的含义入手，这个定义其实还是相当易于理解的：

对于一个字符串 $s$，如果存在整数 $0\le r<|s|$，且满足 $\Pre(s,r)=\Suf(s,r)$，那么就称 $\Pre(s,r)$ 为 $s$ 的一个 Border。

在下文你有可能看见，我们会用 $\newcommand{\Bord}{\operatorname{Border}}\Bord(s)$ 表示 $s$ 的所有 Border 构成的集合。

Border and Period

我们在这里将要讨论 Border 和 Period 的对偶性。说白了就是，周期和 Border 存在一一对应的关系。

• 从周期到 Border 时，我们选一个周期 $T$。根据定义，$\forall 1\le k\le |s|-T,s[k]=s[k+T]$，换言之就是 $\Pre(s,|s|-T)=\Suf(s,|s|-T)$；
• 而从 Border 到周期时，我们选某个 Border $b$，且令 $r=|b|$，则由 $\Pre(s,r)=\Suf(s,r)$ 可以得到 $\forall 1\le k\le r,s[k]=s[k+|s|-r]$。

这一点很重要，因为我们马上就可以看到它的应用。

Structure of Border

从字符串本身来看，我们不难得出：Border 的 Border 还是 Border。

假设有字符串 $s$，且 $|\Bord(s)|>1$。

取 $u\in \Bord(s)$，再取 $v\in \Bord(u)$。

根据定义有 $v=\Pre(u,|v|)=\Pre(s,|v|)=\Suf(u,|v|)=\Suf(s,|v|)$，因此 $v\in \Bord(s)$。

我决定称上述命题为 BBaB 命题，来源于 Border's Border is still a Border。

一个更加重要的论断是：

取出 $p=\arg\max\{|b||b\in \Bord(s)\}$，那么 $\Bord(s)=\Bord(p)\cup\{p\}$。

我们平时写 KMP 找 Border，其实就基于上述论断。

如果上述命题为伪，那么我们可以取出 $x\in \Bord(s)$，且 $x\neq p,x\not\in\Bord(p)$。

由于 $p$ 的性质，我们可以知道 $|x|<p$。类似于 BBaB 的证明方式，我们可以说明 $x$ 应当 $\in \Bord(p)$，矛盾。

这个论断告诉我们，我们可以用树来描述每一个前缀的 $\Bord()$，这样每个结点的 $\Bord()$ 就是树根到该节点的路径上，所有结点对应的字符串的集合。

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从数值上看，我们先需要两个引理。

引理之一：

对于字符串 $s$，它的所有长度 $\ge \lceil\frac{|s|}2\rceil$ 的 Border 的长度可以构成一个等差数列。

特别提醒：我们这里将 $s$ 本身也看作是它的一个 Border，也即 Border 的长度取值范围为 $[0,|s|]$。

证明就需要将 Border 的问题转化到周期上面来：

设 $p=\Per(s)$。如果有 $p>\lfloor\frac{|s|}{2}\rfloor$，那么就没什么可说的了。

否则，取另外一个周期 $p<q\le \lfloor\frac{|s|}{2}\rfloor$。如果不存在这样的 $q$ ，那也没什么可说的。

否则，根据 Weak Lemma，我们可以知道 $\gcd(q,p)$ 也是一个周期，结合 $\gcd$ 的性质我们可以知道 $p=\gcd(q,p)$。

因此有 $p|q$。由于 $q$ 的任意性，我们可以知道 $p,2p,3p,\dots,q$ 都是周期，并且给出的相邻两项之间不存在任何别的周期。

将周期对应到 Border 上，我们就得到了引理。额外的修正来自于 $s$ 本身，我们只需要将 0 加入到首位即可。

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接着是引理之二：

对于字符串 $u,v$，如果 $|u|=|v|=n$，我们则定义 $\newcommand{\PS}{\operatorname{PS}}\PS(u,v)=\{k|\Pre(u,k)=\Suf(v,k)\}$。

此外的定义是 $\newcommand{\LPS}{\operatorname{LargePS}}\LPS(u,v)=\{k|\Pre(u,k)=\Suf(v,k),\lceil\frac{n}{2}\rceil\le k\le n\}$。

那么有：$\LPS(u,v)$ 中的元素可以构成一个等差数列。

这个引理其实就是引理之一的推广，因为上面一个引理讨论的就是 $\LPS(s,s)$ 的情况。

因此，证明可以直接顺着这个思路来：

不妨假设 $|\LPS(u,v)|>2$，取出 $p=\max \LPS(u,v)$。

此时对于任意的 $x\in \LPS(u,v)\setminus\{p\}$，都有 $\Pre(u,x)\in \Bord(p)$，这一步仍然无比类似于 BBaB 的论证方式。

因此，我们可以得到 $\LPS(u,v)=\{|p|\}\cup \{|b||b\in \Bord(p),|b|\ge \lceil\frac n 2\rceil\}$。由于 $\lceil\frac p 2\rceil\le \lceil\frac n 2\rceil$，我们即可结合引理之一得到证明。

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以下是最终的推论：

对于任何一个字符串 $s$，它的所有 Border 可以按照长度被划分为 $O(\log |s|)$ 个等差数列。

我们先设 $n=|s|$。构造方法有两种：

• 递归构造。先取出 $\LPS(s,s)$，然后构造出一个等差数列。

  构造结束后剩下长度 $\le \lfloor\frac n2\rfloor$ 的 Border，直接递归进入 $\LPS(\Pre(s,\lfloor\frac n 2\rfloor),\Suf(s,\lfloor\frac n 2\rfloor))$ 构造。

  每次长度折半，因此最终会得到 $O(\log |s|)$ 个等差数列。

• 直接按照长度划分。我们暂时不考虑长度为 0 的 Border。

  这样我们可以将 $[1,n)$ 划分为 $[1,2)\cup[2,4)\cup\dots\cup[2^{k-1},2^k)\cup[2^k,n)$，其中 $k$ 是整数且满足 $2^k\le n<2^{k+1}$。

  对于其中的一个区间，我们将会说明长度落在该区间内的 Border 可以构成等差数列。

  • 对于区间 $[2^k,n)$，我们知道 $2^k\ge \lceil\frac n 2\rceil$，因此可以构成等差数列。
  • 对于区间 $[2^j,2^{j+1}),0\le j<k$，我们面对的就是 $\LPS(\Pre(s,2^{j+1}-1),\Suf(s,2^{j+1}-1))$，还是可以构成等差数列。

KMP

我们在此定义 $\newcommand{\nxt}{\operatorname{nxt}}\nxt_k$ 表示 $\max\{|b||b\in \Bord(\Pre(s,k))\}$，显然应当满足 $1\le k\le |s|$。

KMP 最核心的部分就是求出指定字符串 $s$ 中每个 $k$ 的 $\nxt$，之后的字符串匹配不过就是一个应用。

这是一个增量的算法，也就是我们可以在 $s$ 后加入一个字符 $c$ 而回答 $s'=sc$ 的 $\nxt$。当然，由于 $\nxt$ 仅仅和前缀相关，我们只需要求出 $\nxt_{|s'|}$ 就好了。

这个算法的关键就在于，我们要知道 $\Bord(s')\subseteq \{bc|b\in \Bord(s)\}$，这个不难理解或证明。因此，在我们求 $\nxt_{|s'|}$ 的时候，我们只需要按照长度从大到小枚举 $\Bord(s)$ 中的元素，检查能不能往后塞一个 $c$。根据 $\Bord()$ 的结构，我们可以直接跳 $\nxt$ 链完成按顺序枚举这个过程。

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KMP 的复杂度是均摊 $O(n)$ 的，此处略过。不过，由于 KMP 还是一个增量算法，因此我们可以动态地向字符串后面“插入”字符而保证复杂度正确这不废话么。但是如果存在删去字符的情况，那分析就失效了——也就是 KMP 不能回退。

Period's' of a Substring

这个部分看起来不是很简单，而且我的 Typora 已经开始卡了，要不先停一停。

Examples

「LG P5829」【模板】失配树

用本文的语言来描述一下这个题：给定字符串 $s$，进行 $m$ 次询问。每次询问给出 $p,q$，求 $\max\{|b||b\in \Bord(p)\cap \Bord(q)\}$。

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用树来表示 $\Bord()$ 的结构，这就不难发现询问求的就是 $p$ 和 $q$ 在树上的 LCA。

于是，按照这道题的本意，我们已经“完美地”解决了问题，复杂度为 $O((|s|+m)\log |s|)$。

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不过，我们既然已经知道了数值上 Border 的等差结构，我们就可以用好这个信息来简化流程。

说简单一点，我们直接按照等差数列来划分树链，并模拟重链剖分的形式在树上蹦跶。这样即可保证最终跳 $O(\log |s|)$ 次。

于是我们需要解决的问题便来了：

• 如何根据当前的位置，确定链头和公差？

  首先确定如何划分链。由于链的端点可能被包含在若干条链中，因此我们将链底保存在链中，而将链头排除在链之外。换句话说，也就是按照深度左开右闭。

  假设现在的位置是 $k$，那么公差自然是 $\delta = k - \nxt_k$。

  这里有两种情况，一者如果 $\nxt_k\le \lfloor\frac k 2\rfloor$，那么等差数列其实只有一项；否则，根据 Periodicity Lemma，我们可以得到链头应当为 $k\bmod \delta + \delta$，因为“链头” $k\bmod \delta$ 不应当算在链内。当然，这种划分方式也很好地处理了 $k\bmod \delta=0$ 的特殊情况。

• 如何移动两个点？

  按照重链剖分的理论，合理的跳法应该是选择终点较深的一个点跳。

  不过，由于原先 $1,2,\dots,n$ 的顺序就是树的 DFS 序，所以我们暴力一步一步跳 $\nxt$ 的时候，的确可以每次移动 DFS 序较大的一个点。于是“合理”的迁移就是，能不能每次将编号较大的一个点移到链头？

  不妨假设我们要移动 $p$，所以有 $p>q$。如果 $p$ 不会跳过 $lca$ 还好说。否则假设 $p$ 会跳过 $lca$，也就是说：

  • 情况 1：$q$ 就是 $lca$。

    这个比较容易。我们可以发现此时 $q-\nxt_q=p-\nxt_p$，它们同属一条链。

  • 情况 2：$q$ 不是 $lca$。我们先来画个图：

    

    为了方便，我们就用 $u$ 指代 $lca$。条件告诉我们 $u-\nxt_u=p-\nxt_p>q-\nxt_q$。根据 KMP 算法流程，我们可以知道 $k-\nxt_k$ 是随 $k$ 增大而单调不降的量，因此这种情况是不存在的。

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    2022.04.06 更新

    上面这个部分其实可以更简洁。我们注意到一定有 $u\le q<p$，而如果会跳过，则应该有 $u-\nxt_u=p-\nxt_p$。根据 $k-\nxt_k$ 随 $k$ 单调不降的性质，我们可以得出 $q-\nxt_q=p-\nxt_p$，所以跳过的情况一定意味着 $q,p$ 共链。

  所以我们只需要在跳点的过程中判断一下是否会出现情况 1 即可。

最终复杂度为 $O(n+m\log n)$。实现代码无比简洁，并且跑得飞快。