[ZJOI2019]开关

题目

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分析

不妨设 \(P=\sum_i p_i\) 。

简单的情况是，如果我们去掉第一次为目标状态的限制，那么可以设 \(g_n\) 为操作 \(n\) 次后达成目标状态的概率，就得到了一个很好计算的东西。不难发现这其实就是限制了按钮被操作次数，可以直接得出其指数型生成函数：

\[\hat G(x)=\prod_{i=1}^n\frac{e^{\frac{p_i}{P{}}x}+(-1)^{s_i}e^{-\frac{p_i}{P}x}}{2} \]

加上第一次的限制之后，我们可以知道两次目标状态之间操作的结果是 " 没有操作 " 。那操作结果为 " 没有操作 " 的指数型生成函数是什么？

\[\hat H(x)=\prod_{i=1}^n\frac{e^{\frac{p_i}{P}x}+e^{-\frac{p_i}{P}x}}{2} \]

设 \(h_n=n![x^n]\hat H(x)\) ，且 \(f_n\) 为操作 \(n\) 次第一次为目标状态的概率，那么可以得到：

\[g_n=\sum_{k=0}^nf_kh_{n-k} \]

设 \(f,g,h\) 的普通生成函数分别为 \(F(x),G(x), H(x)\) ，那么上式告诉我们 \(G(x)=F(x)H(x)\) ，所以有 \(F(x)=\frac{G(x)}{H(x)}\) 。

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现在的推导出现了一点问题：怎么让 \(\hat G\) 变成 \(G\) ？

注意 \(\hat G\) 的形式，它必然为多项 \(\alpha e^{\frac{\beta}{P}x}\) 之和。而一项 \(\alpha e^{\frac{\beta}Px}\) 对应的普通生成函数为 \(\frac{\alpha}{1-\frac{\beta}{P}x}\) 。

另一个限制是，显然 \(-P\le \beta\le P\) ，所以我们可知：

\[G(x)=\sum_{\beta=-P}^{P}\frac{\hat g_\beta}{1-\frac{\beta}{P}x} \]

对 \(\hat H\) 可做同样处理，且使用背包我们可以快速求出 \(\hat g\) 和 \(\hat h\) 。

据说可以更快，不过在这里就没必要了

根据概率生成函数的知识，我们只需要求出 \(F’(1)\) 。根据除法求导法则有：

\[F'(x)=\left(\frac{G(x)}{H(x)}\right)'=\frac{G'(x)H(x)-H'(x)G(x)}{H^2(x)} \]

代入计算 \(F'(1)\) 就大功告成......了？

个锤子，出题人阴险得很

\(G(x),H(x)\) 里面居然都有 \(\frac{1}{1-x}\) 的项，这代进去不就 GG 了？

这里的解决办法是，给 \(G(x),H(x)\) 同时乘上 \((1-x)\) ，就可以规避这个问题。

写题解的人水平太低，解释不通。话说求导过程中， \((1-x)\) 或许是可以直接约掉的。

对于新的函数而言，就有：

\[\begin{aligned} G(1)&=\hat g_P\\ H(1)&=\hat h_P\\ G'(1) &=\sum_{\beta=-P}^{P}\hat g_\beta\left.\left(\frac{1-x}{1-\frac{\beta}{P}x}\right)'\right|_{x=1}\\ &=\sum_{\beta=-P}^{P}\frac{\hat g_{\beta}}{\frac{\beta}{P}-1}\\ H'(1)&=\sum_{\beta=-P}^P\frac{\hat h_\beta}{\frac{\beta}{P}-1} \end{aligned} \]

代入计算即可得到 \(F'(1)\) 。时间复杂度为 \(O(nP)\) 。

小结：

1. 容斥方法计算 \(f\) 比较常用，转成生成函数的表达更为精妙；
2. 此类 OGF 转为 EGF 的方法好像很显；
3. 对于 \(\frac{1}{1-x}\) 的处理很有意思；
4. 求导法则一定好好背，微积分一定好好学；

代码

#include <cstdio>

#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )

const int mod = 998244353, inv2 = 499122177;
const int MAXN = 105, MAXP = 5e4 + 5;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0; char s = getchar(); int f = 1;
	while( s < '0' || '9' < s ) { f = 1; if( s == '-' ) f = -1; s = getchar(); }
	while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = - x;
	if( 9 < x ) write( x / 10 );
	putchar( x % 10 + '0' );
}

int BP[2][MAXP << 1], *B[2] = { BP[0] + MAXP, BP[1] + MAXP };
int AP[2][MAXP << 1], *A[2] = { AP[0] + MAXP, AP[1] + MAXP };

int S[MAXN], p[MAXN];
int N;

inline int Qkpow( int, int );
inline int Mul( int x, int v ) { return 1ll * x * v % mod; }
inline int Inv( const int a ) { return Qkpow( a, mod - 2 ); }
inline int Sub( int x, int v ) { return ( x -= v ) < 0 ? x + mod : x; }
inline int Add( int x, int v ) { return ( x += v ) >= mod ? x - mod : x; }
inline void Upt( int &x, const int v ) { x = Add( x, v ); }

int Qkpow( int base, int indx )
{
	int ret = 1;
	while( indx )
	{
		if( indx & 1 ) ret = Mul( ret, base );
		base = Mul( base, base ), indx >>= 1;
	}
	return ret;
}

int main()
{
	read( N ); int P = 0;
	rep( i, 1, N ) read( S[i] );
	rep( i, 1, N ) read( p[i] ), P = Add( P, p[i] );
	A[0][0] = B[0][0] = 1;
	int nxt = 0, pre = 1;
	rep( i, 1, N )
	{
		nxt ^= 1, pre ^= 1;
		int c = S[i] & 1 ? mod - inv2 : inv2;
		rep( j, - P, P ) A[nxt][j] = B[nxt][j] = 0;
		rep( j, - P, P )
		{
			if( A[pre][j] ) 
				Upt( A[nxt][j + p[i]], Mul( inv2, A[pre][j] ) ),
				Upt( A[nxt][j - p[i]], Mul( c, A[pre][j] ) );
			if( B[pre][j] )
				Upt( B[nxt][j + p[i]], Mul( inv2, B[pre][j] ) ),
				Upt( B[nxt][j - p[i]], Mul( inv2, B[pre][j] ) );
		}
	}
	int ans = 0, inv = Inv( P );
	rep( i, -P, P - 1 )
		ans = Add( ans, Mul( Sub( Mul( A[nxt][i], B[nxt][P] ), Mul( B[nxt][i], A[nxt][P] ) ),
			            Inv( Mul( Sub( Mul( i, inv ), 1 ), Mul( B[nxt][P], B[nxt][P] ) ) ) ) );
	write( ans ), putchar( '\n' );
	return 0;
}