「ROI 2019 Day1」运输 20/19

题目

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分析

好有意思的题目。

根据题目的要求，当 \(r\) 确定的时候有对路径的限制：

\[r\le x\le \frac{p}{p-1}r \]

我们可以得到一条路径对于 \(r\) 的限制：

\[\frac{p-1}{p}x\le r\le x \]

设 \(P(u)\) 为 1 到 \(u\) 的路径的长度的集合，设 \(R(u)=\{r|\exists x\in P(u),\frac{p-1}{p}x\le r\le x\}\) ，可以发现 \(R(u)\) 其实是多个区间的并集。

那么设 \(R(u)=\bigcup_{i=1}^k[l_i,r_i]\) ，可以发现 \(k\le \log_{\frac{p}{p-1}} \max\{r\}\) ！！！

这是因为，如果我们将有交的区间合并，并且将区间按左端点排序，那么一定有 \(l_{i+1}\ge r_i\ge \frac{p}{p-1} l_i\) 。因此左端点位置的增长速度近似于指数。

按一下计算器可以发现区间数量不会太多（最多也只有 800 左右），所以我们可以对每个点暴力维护一下它的区间。

考虑走过一条边。设 \(q=\frac{p-1}{p}\) 对于区间 \([qx_1,x_1],[qx_2,x_2]\) ，如果有 \(qx_1\le qx_2\le x_1\le x_2\) ，则对于任意实数 \(d>0\) ，都会有 \(q(x_1+d)\le q(x_2+d)\le (x_1+d)\le (x_2+d)\) 。所以走过一条边之后，原先有交的区间还是有交，我们不会需要拆开已合并的区间。

合并可以通过归并的方式做到线性，查询的时候可以二分。设 \(S=\log_{\frac{p}{p-1}}A\) ，则时间复杂度为 \(O((n+m)C+q\log_2C)\) 。

小结：

1. 关于区间数量的分析简直太棒了，所以能简则简是必需的。

代码

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <utility>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )

typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> Seg;

const int MAXN = 5e5 + 5;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0;char s = getchar();int f = 1;
	while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
	while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
	if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
	putchar( x % 10 + '0' );
}

template<typename _T>
_T MAX( const _T a, const _T b )
{
	return a > b ? a : b;
}

struct Edge
{
	int to, nxt; LL w;
}Graph[MAXN];

vector<Seg> seg[MAXN], add;

int q[MAXN];

int head[MAXN], in[MAXN];
int N, M, Q, P, cnt;
bool save[MAXN];

void AddEdge( const int from, const int to, const LL w )
{
	Graph[++ cnt].to = to, Graph[cnt].nxt = head[from];
	Graph[cnt].w = w, head[from] = cnt, in[to] ++;
}

void Clean()
{
	cnt = 0;
	rep( i, 1, N ) head[i] = in[i] = 0, seg[i].clear();
}

void Topo()
{
	int h = 1, t = 0, u, v;
	rep( i, 1, N ) if( ! in[i] ) q[++ t] = i;
	while( h <= t )
	{
		u = q[h ++];
		for( int i = head[u] ; i ; i = Graph[i].nxt )
			if( ! ( -- in[v = Graph[i].to] ) ) q[++ t] = v;
	}
}

void Merge( vector<Seg> &ret, const vector<Seg> &ins )
{
	static vector<Seg> tmp; tmp.clear();
	int s1 = ret.size(), s2 = ins.size(), i = 0, j = 0;
	while( i < s1 && j < s2 )
	{
		if( ret[i] < ins[j] ) tmp.push_back( ret[i ++] );
		else tmp.push_back( ins[j ++] );
	}
	while( i < s1 ) tmp.push_back( ret[i ++] );
	while( j < s2 ) tmp.push_back( ins[j ++] );
	s1 = tmp.size(), ret.clear();
	rep( i, 0, s1 - 1 ) save[i] = true;
	rep( i, 1, s1 - 1 )
		if( tmp[i - 1].second >= tmp[i].first )
			tmp[i] = Seg( tmp[i - 1].first, MAX( tmp[i].second, tmp[i - 1].second ) ), save[i - 1] = false;
	rep( i, 0, s1 - 1 ) if( save[i] ) ret.push_back( tmp[i] );
}

int main()
{
	int T; read( T );
	rep( cas, 1, T )
	{
		read( N ), read( M ), read( Q ), read( P ); Clean();
		rep( i, 1, M ) { int a, b; LL c;
			read( a ), read( b ), read( c );
			AddEdge( a, b, c );
		}
		
		Topo();
		seg[1].push_back( Seg( 0, 0 ) );
		rep( i, 1, N )
		{
			int u = q[i], s = seg[u].size();
			for( int j = head[u] ; j ; j = Graph[j].nxt )
			{
				add.clear();
				rep( k, 0, s - 1 ) 
					add.push_back( Seg( seg[u][k].first + ( P - 1 ) * Graph[j].w,
						                seg[u][k].second + P * Graph[j].w ) );
				Merge( seg[Graph[j].to], add );
			}
		}
		while( Q -- ) { int f; LL r;
			read( f ), read( r );
			vector<Seg> :: iterator res = upper_bound( seg[f].begin(), seg[f].end(), Seg( P * r, P * r ) );
			if( res != seg[f].end() && res->first == P * r ) putchar( '1' );
			else if( res == seg[f].begin() ) putchar( '0' );
			else putchar( ( -- res )->second >= P * r ? '1' : '0' );
		}
		puts( "" );
	}
	return 0;
}