数学杂谈 #1
数论函数
我们定义 \(f:\mathbb{N_+}\rightarrow \mathbb{C}\) 的函数 \(f\) 为数论函数；不过，在 OI 中更为常见的是 \(f:\mathbb{N_+}\rightarrow \mathbb{Z}\) 类型的函数。
下面是一些常见的数论函数：
- \(\varepsilon(n)\) ，定义为 \(\varepsilon(n)=[n=1]\) ；
- \(I(n)\) ， 定义为 \(I(n)=1\) ；
- \(id(n)\) ，定义为 \(id(n)=n\) ；
- \(\varphi(n)\) ，定义为 \(\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[(i,n)=1]\) ；
- \(\mu(n)\)，定义为 \(\mu(n)=\begin{cases}1&n=1\\(-1)^k&n\ 无平方因子且有\ k\ 个质因子\\0&otherwise\end{cases}\) ；
- \(\sigma_k(n)\) ，定义为 \(\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k\) ；
题目中定义的一大堆
Dirichlet 卷积
Dirichlet 卷积是定义在数论函数上的运算。对于数论函数 \(f\) 和 \(g\) ，定义 \(f\) 和 \(g\) 的 Dirichlet 卷积如下：
经常我们也会用 \((f*g)(n)\) 代替 \(h(n)\) 。更多的时候我们直接简记为 \(f*g\) 。
Dirichlet 卷积满足以下性质：
-
交换律：对于数论函数 \(f\) 和 \(g\) ，满足 \(f*g=g*f\)；
-
结合律：对于数论函数 \(f,g\) 和 \(h\) ，满足 \(f*(g*h)=(f*g)*h\) ；
证明：
\[\begin{aligned} f*(g*h) &=f*(h*g)\\ &=\sum_{d|n}f(d)\sum_{p|\frac n d}h(p)g(\frac{n}{dp})\\ &=\sum_{d|n}\sum_{dp|n}f(d)h(p)g(\frac n {dp})\\ &=\sum_{p|n}\sum_{d|\frac n p}f(d)h(p)g(\frac n {dp})\\ &=\sum_{p|n}h(p)\sum_{d|\frac n p}f(d)g(\frac n {dp})\\ &=h*(f*g)=(f*g)*h \end{aligned} \] -
Dirichlet 卷积的单位元为 \(\varepsilon\) ：
以下给出一些有趣的常见的卷积结果：
-
\(\mu*I=\varepsilon\) ；
证明：
-
当 \(n=1\) 时， \((\mu*I)(1)=\mu(1)=1=\varepsilon(1)\) ；
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当 \(n\not=1\) 时， \((\mu*I)(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\) ；
此时设 \(\omega\) 为 \(n\) 的不同质因子个数，可以发现 \((\mu*I)(n)=\sum_{k=0}^{\omega}\binom{\omega}{i}(-1)^k=(1-1)^\omega=0=\varepsilon(n)\) ；
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-
\(\varphi*I=id\) ；
证明：
对于序列 \(\frac 0 n,\frac 1 n,\frac 2 n,\frac 3 n,...,\frac {n-2} n,\frac{n-1}n\) ，对每个分数进行约分；这里我们对约分的定义为分子分母同时除以 \(\gcd\) ，因此 \(\frac{0}{n}\) 应该约为 \(\frac{0}{1}\) 。
考察最终结果，分母为 \(k\) 的分数恰好有 \(\varphi(k)\) 个。而可能的分母都是 \(n\) 的因子，因此有 \(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\) ，即 \(\varphi*I=id\) 。
-
\(\mu*id=\varphi\) ；
证明：
\[\begin{aligned} \varphi*I&=id\\ \varphi*I*\mu&=id*\mu\\ \varphi&=\mu*id \end{aligned} \] -
若定义 \((id_k)(n)=n^k\) ，则有 \(I*id_k=\sigma_k\) ；
-
若定义 \((id_k)(n)=n^k\) ，则有 \(\sigma_k*I=id_k\) ；
证明：类似于第 3 条的证明过程，在此略去。
特殊数论函数
这里我们讨论数论函数的性质：积性与完全积性。
- 对于数论函数 \(f\) ，如果对于任意的 \(a,b\in \mathbb{N_+},(a,b)=1\) ，都满足 \(f(ab)=f(a)f(b)\) ，则称 \(f\) 为积性函数。
- 对于数论函数 \(f\) ，如果对于任意的 \(a,b\in \mathbb{N_+}\) ，都满足 \(f(ab)=f(a)f(b)\) ，则称 \(f\) 为完全积性函数。
在数论函数的例子中，很容易看出它们都是积性函数；其中 \(\varepsilon,I,id\) 都是完全积性函数，而 \(\varphi,\mu,\sigma_k\) 都仅为积性函数。
更特别地，积性函数的积性在运算中是可以 " 保持 " 的。具体而言：
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对于积性函数 \(f\) 和 \(k\in \mathbb{Z}\) ，设 \(h(n)=(f(n))^k\) ，则 \(h\) 是积性函数；
-
对于积性函数 \(f\) 和 \(k\in \mathbb{N_+}\) ，设 \(h(n)=f(n^k)\) ，则 \(h\) 是积性函数；
-
对于积性函数 \(f\) 和 \(g\) ，设 \(h(n)=f(n)g(n)\) ，则 \(h\) 是积性函数；
-
对于积性函数 \(f\) 和 \(g\) ，设 \(h=f*g\) ，则 \(h\) 是积性函数；
证明：对于 \(a,b\in \mathbb{N_+},(a,b)=1\) ，有：
\[\begin{aligned} h(ab) &=\sum_{d|ab}f(d)g(\frac {ab}d)\\ &=\sum_{d_1|a}\sum_{d_2|b}f(d_1d_2)g(\frac{ab}{d_1d_2})\\ &=\sum_{d_1|a}f(d_1)g(\frac{a}{d_1})\sum_{d_2|b}f(d_2)g(\frac b{d_2})\\ &=h(a)h(b) \end{aligned} \]
Mobius 反演
只要你细心观察，你就会发现 \(\mu\) 的定义就很像一个容斥系数。
Dirichlet 卷积中的一些结论也印证了这一点。事实上，有如下结论成立：
-
对于数论函数 \(f\) 和 \(g\) ： \(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac n d)\) ；
证明：
- 左至右： \(f=g*I\Rightarrow f*\mu=g*(I*\mu)\Rightarrow f*\mu=g\) ；
- 右至左： \(g=f*\mu\Rightarrow g*I=f*(\mu*I)\Rightarrow g*I=f\) ；
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对于数论函数 \(f\) 和 \(g\) ： \(f(n)=\sum_{n|d}g(d)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{n|d}f(d)\mu(\frac{d}{n})\) ；
证明：
-
左至右：
\[\begin{aligned} \sum_{n|d}f(d)\mu(\frac n d) &=\sum_{n|d}\mu(\frac n d)\sum_{d|k}g(k)\\ &=\sum_{n|k}g(k)\sum_{d'|\frac{k}{n}}\mu(d')\\ &=g(n) \end{aligned} \] -
右至左：
\[\begin{aligned} \sum_{n|d}g(d) &=\sum_{n|d}\sum_{d|k}f(k)\mu(\frac k d)\\ &=\sum_{n|k}f(k)\sum_{d'|\frac k n}\mu(d')\\ &=f(n) \end{aligned} \]
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