[LG P1361]小M的作物
题目
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分析
经典的一类最小割问题。
首先不难确定问题的方向是最小割,以下我们认为 \(u\in S\) 表示种在 \(A\) 田, \(u\in T\) 表示种在 \(B\) 田。
考虑如果没有合种的额外贡献,我们可以对于每个点,连接 \(S\overset{a_u}{\rightarrow } u\) 和 \(u\overset{b_u}{\rightarrow } T\) 。
那么此时有合种的贡献,我们不妨先加到初始值,再考虑什么时候会删除。
由于在两田的合种本质相似,所以我们只考虑在 \(A\) 田合种的贡献。考虑给方案建立一个节点 \(p\) ,那么 \(p\in S\) 此时就可以看作是作物全部要种在 \(A\) 田;这就意味着如果 \(S\) 可以通过 \(p\) 和作物 \(u\) 到达 \(T\) 则不合法,因此需要保证此时只能割掉 \(u\rightarrow T\) 的边,因此连接 \(p\overset{+\infty}{\rightarrow } u\) 。
\(B\) 田合种的情况相似操作即可。
小结:
- 最小割的思考方式都很类似,都是构造边使得不合法情况下边会被割掉。
- 这种建图方式可以解决很多某些点需要属于同一集合的要求。
代码
#include <cstdio>
typedef long long LL;
#define int LL
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 2e5 + 5, MAXM = 2e6 + 5;
template<typename _T>
void read( _T &x )
{
x = 0; char s = getchar(); int f = 1;
while( s < '0' || '9' < s ) { f = 1; if( s == '-' ) f = -1; s = getchar(); }
while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ); s = getchar(); }
x *= f;
}
template<typename _T>
void write( _T x )
{
if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if( 9 < x ) write( x / 10 );
putchar( x % 10 + '0' );
}
template<typename _T>
_T MIN( const _T a, const _T b )
{
return a < b ? a : b;
}
struct Edge
{
int to, nxt, c;
}Graph[MAXM << 1];
int q[MAXN];
int A[MAXN], B[MAXN];
int head[MAXN], dep[MAXN], cur[MAXN];
int N, K, cnt = 1, tot;
void AddEdge( const int from, const int to, const int C )
{
Graph[++ cnt].to = to, Graph[cnt].nxt = head[from];
Graph[cnt].c = C, head[from] = cnt;
}
void AddE( const int from, const int to, const int C ) { AddEdge( from, to, C ), AddEdge( to, from, 0 ); }
bool BFS( const int S, const int T )
{
int h = 1, t = 0, u, v;
for( int i = 1 ; i <= tot ; i ++ ) dep[i] = INF;
dep[q[++ t] = S] = 0;
while( h <= t )
{
u = q[h ++];
for( int i = head[u] ; i ; i = Graph[i].nxt )
if( Graph[i].c && dep[v = Graph[i].to] > dep[u] + 1 )
dep[q[++ t] = v] = dep[u] + 1;
}
return dep[T] < INF;
}
int DFS( const int u, const int lin, const int T )
{
if( u == T ) return lin;
int used = 0, ret, v, c;
for( int &i = cur[u] ; i ; i = Graph[i].nxt )
{
v = Graph[i].to, c = Graph[i].c;
if( dep[v] == dep[u] + 1 && c && ( ret = DFS( v, MIN( lin - used, c ), T ) ) )
{
used += ret, Graph[i].c -= ret, Graph[i ^ 1].c += ret;
if( used == lin ) break;
}
}
if( used < lin ) dep[u] = INF;
return used;
}
int Dinic( const int S, const int T )
{
int f = 0;
while( BFS( S, T ) )
{
for( int i = 1 ; i <= tot ; i ++ ) cur[i] = head[i];
f += DFS( S, INF, T );
}
return f;
}
signed main()
{
read( N ); int ans = 0;
for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read( A[i] );
for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read( B[i] );
read( K ), tot = N + 2 * K;
const int s = ++ tot, t = ++ tot;
for( int i = 1 ; i <= K ; i ++ )
{
int k, c1, c2; read( k );
read( c1 ), read( c2 ), ans += c1 + c2;
AddE( s, i + N, c1 ), AddE( i + N + K, t, c2 );
for( int to ; k -- ; ) read( to ), AddE( i + N, to, INF ), AddE( to, i + N + K, INF );
}
for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
if( A[i] > B[i] ) AddE( s, i, A[i] - B[i] ), ans += A[i];
else AddE( i, t, B[i] - A[i] ), ans += B[i];
write( ans - Dinic( s, t ) ), putchar( '\n' );
return 0;
}