[LG P1361]小M的作物

题目

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分析

经典的一类最小割问题。

首先不难确定问题的方向是最小割，以下我们认为 \(u\in S\) 表示种在 \(A\) 田， \(u\in T\) 表示种在 \(B\) 田。

考虑如果没有合种的额外贡献，我们可以对于每个点，连接 \(S\overset{a_u}{\rightarrow } u\) 和 \(u\overset{b_u}{\rightarrow } T\) 。

那么此时有合种的贡献，我们不妨先加到初始值，再考虑什么时候会删除。

由于在两田的合种本质相似，所以我们只考虑在 \(A\) 田合种的贡献。考虑给方案建立一个节点 \(p\) ，那么 \(p\in S\) 此时就可以看作是作物全部要种在 \(A\) 田；这就意味着如果 \(S\) 可以通过 \(p\) 和作物 \(u\) 到达 \(T\) 则不合法，因此需要保证此时只能割掉 \(u\rightarrow T\) 的边，因此连接 \(p\overset{+\infty}{\rightarrow } u\) 。

\(B\) 田合种的情况相似操作即可。

小结：

1. 最小割的思考方式都很类似，都是构造边使得不合法情况下边会被割掉。
2. 这种建图方式可以解决很多某些点需要属于同一集合的要求。

代码

#include <cstdio>

typedef long long LL;

#define int LL

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 2e5 + 5, MAXM = 2e6 + 5;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0; char s = getchar(); int f = 1;
	while( s < '0' || '9' < s ) { f = 1; if( s == '-' ) f = -1; s = getchar(); }
	while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ); s = getchar(); }
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
	if( 9 < x ) write( x / 10 );
	putchar( x % 10 + '0' );
}

template<typename _T>
_T MIN( const _T a, const _T b )
{
	return a < b ? a : b;
}

struct Edge
{
	int to, nxt, c;
}Graph[MAXM << 1];

int q[MAXN];

int A[MAXN], B[MAXN];

int head[MAXN], dep[MAXN], cur[MAXN];
int N, K, cnt = 1, tot;

void AddEdge( const int from, const int to, const int C )
{
	Graph[++ cnt].to = to, Graph[cnt].nxt = head[from];
	Graph[cnt].c = C, head[from] = cnt;
}

void AddE( const int from, const int to, const int C ) { AddEdge( from, to, C ), AddEdge( to, from, 0 ); }

bool BFS( const int S, const int T )
{
	int h = 1, t = 0, u, v;
	for( int i = 1 ; i <= tot ; i ++ ) dep[i] = INF;
	dep[q[++ t] = S] = 0;
	while( h <= t )
	{
		u = q[h ++];
		for( int i = head[u] ; i ; i = Graph[i].nxt )
			if( Graph[i].c && dep[v = Graph[i].to] > dep[u] + 1 )
				dep[q[++ t] = v] = dep[u] + 1;
	}
	return dep[T] < INF;
}

int DFS( const int u, const int lin, const int T )
{
	if( u == T ) return lin;
	int used = 0, ret, v, c;
	for( int &i = cur[u] ; i ; i = Graph[i].nxt )
	{
		v = Graph[i].to, c = Graph[i].c;
		if( dep[v] == dep[u] + 1 && c && ( ret = DFS( v, MIN( lin - used, c ), T ) ) )
		{
			used += ret, Graph[i].c -= ret, Graph[i ^ 1].c += ret;
			if( used == lin ) break;
		}
	}
	if( used < lin ) dep[u] = INF;
	return used;
}

int Dinic( const int S, const int T )
{
	int f = 0;
	while( BFS( S, T ) )
	{
		for( int i = 1 ; i <= tot ; i ++ ) cur[i] = head[i];
		f += DFS( S, INF, T );
	}
	return f;
}

signed main()
{
	read( N ); int ans = 0;
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read( A[i] );
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read( B[i] );
	read( K ), tot = N + 2 * K;
	const int s = ++ tot, t = ++ tot;
	for( int i = 1 ; i <= K ; i ++ )
	{
		int k, c1, c2; read( k );
		read( c1 ), read( c2 ), ans += c1 + c2;
		AddE( s, i + N, c1 ), AddE( i + N + K, t, c2 );
		for( int to ; k -- ; ) read( to ), AddE( i + N, to, INF ), AddE( to, i + N + K, INF );
	}
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
		if( A[i] > B[i] ) AddE( s, i, A[i] - B[i] ), ans += A[i];
		else AddE( i, t, B[i] - A[i] ), ans += B[i];
	write( ans - Dinic( s, t ) ), putchar( '\n' );
	return 0;
}