网络流建模解题
持续咕咕咕更新。
由于作者水平不高，所以可能有很多的建图方式都没有提到，还请见谅。
前置定理
二分图对偶定理：
二分图最大匹配 = 二分图最小点覆盖 = \(|V|-\) 二分图最大独立集
二分图最大权匹配 = 二分图最小权点覆盖 = \(|\sum w|-\) 二分图最大权独立集
Dilworth 定理：
偏序集中最大反链大小等于最小链覆盖的大小。
最大流最小割定理：
对于网络 \(G\) 和可行流 \(f\) ，以下三个命题是等价的：
- \(f\) 是最大流。
- \(G_f\) 上不存在增广路。
- 存在一个割 \([S,T]\) ，使得 \(c(S,T)=|f|\) 。
及其推论：
对于网络 \(G\) ，总有：
二分图
相当常见的建图方式。常见的二分图有：
- 题目告诉你，可以分成两种点。
- 对问题的图进行黑白染色之后得到了两个部。这种问题常常出现在网格图中；或者，当遇到相邻这样的字眼，并且图为二分图的时候，可以这么尝试。
- 还是出现在网格中，将行和列抽象成点，那么 \(L\rightarrow R\) 的一条边就对应了一个格点。通常当格子与行列挂钩的时候，会采取这种策略。
- 出现在序列中，对于序列 \(P\) ，当前点 \(P_i\) 和前驱 \(P_{i-1}\) 构成了两个部。本质上是一种全排列的枚举，便于计算相邻两项的贡献。
- 该情况是类型 4 的扩展。二分图可以表达为一个连续过程中的前驱后继关系的匹配。
以下是一些有价值的例题。
通过观察样例图片不难发现，对网格进行黑白染色之后，一个骑士能攻击到的格子必然和自己颜色不同，证明也很简单。
那么可以将黑色格子放在左边，白色格子放在右边，连边之后求的就是一个最大独立集，跑匹配就行。
不难想到二分。之后可以将行看成左部，列看成右部，那么 \(L\rightarrow R\) 的一条边的流量就对应了一个格子的流量，可以用上下界限制格子值；同时行和列的和也可以用流量限制，我们只需要检查是否有可行流。
不难发现题目的游走顺序必然可以表示成一个序列，并且花费仅出现在相邻两项之间，所以可以按照 4 中提到的建图。由于不能自己连自己，所以需要优化一下。
[A^ 记%]) ，BZOJ都死掉了你还想干嘛？
考虑这样一个过程：我们首先让所有点作为一条路径。接着，我们可以尝试选择一条边合并两条路径；合并的限制就是每个点最多向外连一条边，最多向内接受一条边。
于是我们可以想到使用二分图，左边表示向外，右边表示向内。原图中的一条边 \(u\rightarrow v\) 就变成了左边 \(u\) 向右边 \(v\) 的一条待选匹配边。问题就相当于求一个最大独立集，也就是点数减去最大匹配。
可以发现这同样可以看作给每个点找自己的后继。
题目给定的是一组偏序关系，要我们求最长反链的长度。根据 Dilworth 定理，也就是最小链覆盖的大小，套用上面的做法即可。
拆点与分层图
这两个比较像，所以放在一块。也是比较常用的。
拆点，顾名思义，也就是题目中抽象出来的点，可能并不能直接用，我们就需要将一个点拆分成多个图中的点。
我们拆点就是要让一个点可以容纳更多的信息，包括但不限于点的容量、附加信息。
当我们把附加信息结合到点上进行拆点的时候，我们得到的就可以被称为分层图。
（需要注意，有的时候不止可以拆点，还可以拆边——通常用在费用随流量改变的费用流中）
以下是一些有价值的例题。
绝对的拆点的经典题目。原题是显然是最小割，不过由于容量在点上，而点又不可能存有容量，所以我们可以将一个点 \(u\) 拆成 \(u\) 和 \(u'\) ，连接 \(u\rightarrow u'\) ，容量为花费。其余的图的边的容量就是 \(+\infty\) 。构造方案可以参考最大流最小割定理的证明方式。
典型的分层图问题。问题的瓶颈在于如何知道当前的航线状态。 Well，如果不知道，我们不妨直接把时间放在状态里面。此时原先的一个点 \(u\) ，就被拆成了 \(u_0,u_1,u_2,...\) ，分别表示时刻 0 ，时刻 1 ，时刻 2 ...... 时候的 \(u\) 节点。那么现在无论是乘飞船还是站在当前站点不动，都可以表示为跨层边，不会有建图混乱的问题。
另一个需要注意的是，基于增广方法的网络流算法是迭代算法，所以处理这种问题的时候我们可以尝试直接枚举时间，每次在残余网络上面更新最大流，而不需要暴力重构图。
不难想到如下 DP ：设 \(f(i,j,S)\) 表示在 \((i,j)\) 这个位置上，拥有 \(S\) 中的所有钥匙的最小时间。显然转移会存在环，我们就可以考虑使用最短路算法——在这个问题中就可以直接 BFS 。
这个例子告诉我们，附加信息实际上可以是任何信息，包括哈希值。同时，拆点、分层是所有图论问题中的通法，包括最短路、网络流、图矩阵.....
最小割
最小割绝对是流相关问题中最玄学的一部分，没有之一
最小割的核心问题有两个：
- 如何判断它是不是最小割问题？
这个很重要，不然你基本很难解决 - 如何建图？
第一个是千古难题，笔者自己也不太清楚该怎么解决，所以只能靠经验和灵感。
第二个，最小割核心建图在于两个：
- 如何把题目的代价转化到边权上？
- 如何将代价/限制，转化成一条 \(s\rightarrow t\) 的通路，从而强制计算？
以下是一些常见类型的题目：
两种选择
这就意味着在题目背景下，你建立点只有两种选择。
此时我们可以钦定 \(u\in S\) 表示一种情况， \(u\in T\) 表示另一种情况。那么 \(S\rightarrow u\) 的代价就是 \(u\notin S\) 的代价， \(u\rightarrow T\) 同理。
由于贡献可以转化为代价，所以我们考虑额外代价，而额外的代价可以通过建立额外的点和边来表示。最常见的：
-
\(\{u_1,u_2,u_3,...,u_k\}\) 如果不属于同一个割集会带来代价 \(c\) 。
以其中有一个 \(\notin S\) 为例。
假设我们要求没有代价，此时不合法情况就是 \(\exists u_i,u_i\in T\) ，也就是 \(u_p\) 可以到达 \(T\) 。我们考虑构造 \(S\rightarrow T\) 的路径——不难想到建立点 \(p\) ，让 \(S\rightarrow p\rightarrow u_p\rightarrow T\) ，因此连接 \(p\rightarrow u_p\) ，容量为 \(+\infty\) 。
而如果要求有代价，就是要求无论 \(u\) 属于哪个割集都没问题，因此只能割掉 \(S\rightarrow p\) 的边，这条边的容量就应该是 \(c\) 。
总结下来：连接 \(S\rightarrow p\) ，容量为 \(c\) ；对于 \(v\in \{u_1,...,u_k\}\) ，连接 \(p\rightarrow v\) ，容量为 \(+\infty\) 。
-
如果 \(u,v\) 同时属于一个割集会带来代价 \(c\) 。
这种问题就解法不一了。
首先我们可以把 \((u,v)\) 想象成一条边；如果给定的图是二分图，那么我们可以考虑特殊处理：我们可以反转其中一部的割的含义——例如，如果原先 \(u\in S\) 表示被选中，那么现在 \(u\in S\) 表示不被选中， \(u\in T\) 才表示被选中。这样就转化成了上面的情况。
否则，在一般图中，我们可以考察每一种割，并且直接解得图上边权。注意，如果我们解出负数，就说明该方法是无效的。
以下是一些有价值的例题：
方法一的例题，按照上述建图即可。
小 N 手上有一个 \(N\times M\) 的方格图，控制某一个点要付出 \(A_{ij}\) 的代价，然后某个点如果被控制了，或者他周围的所有点（上下左右）都被控制了，那么他就算是被选择了的。一个点如果被选择了，那么可以得到 \(B_{ij}\) 的回报，现在请你帮小 N 选一个最优的方案，使得 回报 - 代价 尽可能大。
对于 \(100\%\) 的数据有 \(1\le N,M\le 50, 1\le A_{ij},B_{ij}\le 100\) 。
考虑额外贡献： \((i,j)\) 不被控制并且四周的点都不被控制，等价于要求 \((i,j)\) 属于一个割集并且四周的属于另一个。
注意到图是二分图，因此把割集反转一下即可变为 \((i,j)\) 和四周的都属于一个割集。
[!C ^录()
方法二的例题，按照上述建图即可。
这里太小了，我写不下，还是去看题解 \(\uparrow\) 吧
考虑基础图：
考察四种割，有：
随便得到一组解并代入即可。
多种选择
此时需要我们运用拆点技术。由于一个点最多选一种选择，因此我们通常采用 " 链式拆分 " ，即对于点 \(u\) ，如果有 \(k_u\) 中选择，就拆出来 \(u_1,u_2,u_3,...,u_{k_u-1}\) ，这样 \(S\rightarrow u_1,u_1\rightarrow u_2,...,u_{{k_u}-1}\rightarrow T\) ，就有 \(T\) 条边，可以把选择的代价安上去。
但是不同点的选择之间往往有限制，这里我们就需要使用 \(+\infty\) 的边进行限制。方法已经说过了，就是构造不合法情况下 \(S\rightarrow T\) 的通路。
以下是一些有价值的例题：
绝对的经典！！
不考虑限制可以很容易建出最小割图。考虑限制，也就是如果 \(f(x,y)\ge k\) ，则必有 \(f(x',y')\ge k-D\) ，即如果 \(f(x',y')<k-D\) 我们就必须要让 \(S\rightarrow T\) 存在通路，因此可以想到连接 \((k,x,y)\rightarrow (k-D,x,y)\) 。
更多最小割
二分图最小点覆盖
本质上也是最大流问题。因为它们两个是对偶问题
裸的最小点覆盖很简单：建立源汇，左边 \(u\) ，连接 \(S\rightarrow u\) ，容量为权值；右边 \(v\) ，连接 \(v\rightarrow T\) ，容量为权值；对于边 \((u,v)\) ，连接 \(u\rightarrow v\) ，容量为 \(+\infty\) 。
不过相关的拓展题目倒比较有意思：
这道题告诉我们，不仅建的图结构可以限制最终的结果，合理地修改参数也可以限制最终的结果（尤其是一些极大/极小的参数）
费用流
费用流通常与前面所说的技巧紧密联系，基本特点是最小化什么东西一条流本身会需要被计算多次，单纯的割或流无法处理，所以需要引入费用的概念。
主要需要注意的点有：
- 最好给每个点和每条流都赋予一个确切的含义，这样建图才会有迹可循
- 一定要充分利用流最大、费用最小的性质
以下是一些有价值的例题：
对于第 \(i\) 位厨师，由于费用随菜数单调递增，所以如果他还没有做第 \(j\) 道菜，那么下一次也不可能流经第 \(j+1\) 道菜的点。因此每位厨师只需在图中保留最后一道未做的菜的点，其余可中途加入。
这就是 " 费用最小 " 的性质利用，让我们认识到点的使用存在单调性，从而可以需要时再加入点。
动态建图、动态增广的方法非常巧妙！
经典的拆边策略。
考虑 \(\nabla x^2=x^2-(x-1)^2=2x-1\) ，也即我们第 \(x\) 次流过时就会增加 \(2x-1\) 的费用。由于每次增加的费用不一，因此我们需要进行拆边，将一条容量为 \(c\) 的边拆成 \(c\) 条容量为 1 的边，第 \(i\) 条费用就是 \(2i-1\) 。
再次利用最小费用的性质，我们的费用最后加起来一定就会等于流量的平方，否则不会是最小费用流。
本题的其它部分可以直接构造，也可以用上下界网络流的方式推导；注意处理负环。
直接用上下界推导，快得一批
这道题有一点点 " 二分图 " 的味道。
我们不妨最初每天直接买餐巾，接着考虑将脏餐巾洗成可用的餐巾从而减少花费。因此就可以很方便地建出图来。小细节是，洗好的餐巾不一定需要当天使用，可以留到之后。
[AGC034D] Manhattan Max Matching
关于的绝对值函数的小性质：
那么这道题里面也可以这么用：
此时我们就可以将费用拆分成彼此独立的两部分。计算组合起来的费用的时候，费用最小（大）的性质会自动地帮助我们选出最优解。
现在我们只需要保证计算的时候费用可以对应上，可以直接建立 4 个辅助点表示四种情况下的费用，连边的时候就可以对费用进行分类了。
非常规建图
即标题，让你觉得脑洞大开却又合情合理的建图方式。
太巧妙了，一定多看
需要 \(a_i\) 的志愿者并不一定意味着建立容量为 \(a_i\) 的边并让它满流，也可以强迫 \(a_i\) 的流不经过它而走其它边从而计算费用。
