2020暑期题解集合+任务列表

[CF908D] New Year and Arbitrary Arrangement
期望 DP 。
下文直接用 \(P_a\) 和 \(P_b\) 指代放 "a" 和放 "b" 的概率。
不难想到这样一个状态：
\(f(i,j)\)：字符串中拥有 \(i\) 个 "ab" 子序列和 \(j\) 个 "a" 时，最终字符串的期望 "ab" 子序列个数。
考虑转移：

\[f(i,j)=P_a\times f(i,j+1)+P_b\times f(i+j,j) \]

此时问题就变成了如何确定初始和目标状态。

\[f(i,j)=i+j+\sum_{k=0}^{+\infty}P_a^kP_b\times k=i+j+\frac{P_a}{P_b} \]

目标状态是什么？应该是 \(f(0,0)\) 吗？不是，因为所有的 \(f(i,0)\) 都会向自己转移，推导一下就会发现它只会从 \(f(i,1)\) 的位置转移。因而我们应当钦定一个 \(a\) 在开头，将 \(f(0,1)\) 作为中止状态。
时间是 \(O(k^2)\) 。可以发现本题的难点在于寻找初始和终止状态。这个通常和转移与条件有关，需要灵活应对。
AC 记录。

[CF1063F]String Journey

一般 DP ，自动机， DP 优化 。敬请移步正经题解。

[CF1060F] Shrinking Tree
DP 状态设计，转移。敬请移步正紧题解。

[AGC019E] Shuffle and Swap
构造，性质，序列 DP。敬请移步正经题解。

[HDU6796] X Number
数位 DP，状态优化，哈希，拼盘。敬请移步正经题解。

[HDU6864] Jumping on a Cactus
计数 DP （拓扑序），仙人掌，敬请移步正经题解。

[CF1372E]Omkar and Last Floor

区间 DP ，敬请移步正经题解。

[HDU6848] Expectation

计数 DP ，敬请移步正紧题解。

[CF1408G]Clusterization Counting

生成树，树上背包，敬请移步正经题解。

[CF1368H1]Breadboard Capacity (easy version)

网络流，最小割，DP，敬请移步正经题解。

[CF1295F] Good Contest

优化状态，敬请移步正经题解。

[ARC104F]Visibility Sequence

转化，构造，区间 DP ，敬请移步正经题解。

神仙图论

[CF1407E]Egor in the Republic of Dagestan

最短路，DP 。

直接考虑 DP 。定义状态：

\(f(u,0/1)\)： \(u\) 节点选择颜色为白或黑，到达 \(n\) 的最短路的最大值。

考虑转移，显然我们可以枚举邻边。此时我们就知道了对应边的颜色 \(c\) ，及对应边的终点 \(v\) 。那么显然我们应该用 \(\max\{f(v,0),f(v,1)\}+1\) 来转移 \(f(u,c)\) 。由于我们求的还是最短路，所以转移取 \(\min\) 。

这样 \(n\) 就相当于是所有状态的终点，不好做。我们建反图，然后直接 BFS 来转移就好了（类比 Dijkstra ，点 \(u\) 必须要在 \(f(u,0)\) 和 \(f(u,1)\) 都出队之后才能转移）。

时间复杂度是 \(O(n)\) 的。

AC 记录。

[HDU6334] Problem C. Problems on a Tree

并查集，敬请移步正经题解。

数学杂论

[Gym100490A] Approximation

保序回归特例、贪心 。敬请移步正经题解。

[AGC019F] Yes or No
概率期望，期望 DP。敬请移步正经题解。

[CF1025G]Company Acquisitions

势能分析（？）。敬请移步正经题解。

[HDU3430] Shuffling
排列，CRT
显然可以找出置换上的所有环。一张牌不可能跳出自己所在的环，也不可能交换环内牌的顺序。因此我们首先需要判断起始和结尾在环上是否可以匹配。顺便我们还可以得到，每个环应该转几次。
设有 \(k\) 个环，第 \(i\) 个大小为 \(s_i\) ，需要转 \(t_i\) 次。设总共转了 \(x\) 次，于是有同余方程：

\[\begin{cases}x\equiv t_1\pmod {s_1}\\x\equiv t_2\pmod {s_2}\\x\equiv t_3\pmod {s_3}\\\dots\\x\equiv t_k\pmod {s_k}\end{cases} \]

用 CRT 把解搞出来就好了，这里还是要判断无解。时间是 \(O(n\log_2 p)\) ，\(p\) 是模数。
AC 记录。

[[校内赛/牛客2020多校赛第五场] Easy]
生成函数，计数 DP 。敬请移步正经题解。

[洛谷 P6222] 简单题及其加强

莫比乌斯反演，预处理。敬请移步正经题解。

玄学结构

[CQOI2016]伪光滑数
特殊 DP ，可并堆，可持久化。敬请移步正紧题解。

[CTSC2018]混合果汁
二分，可持久化线段树。
显然我们可以二分答案。
此时我们就只能使用美味值大于等于二分答案的果汁。假如我们可以得到可用集合以价格为下标、升为值的权值线段树，我们就可以直接在线段树上二分，求出指定升数下的最小花费并判断。
显然我们就可以预处理出前缀的主席树。
时间复杂度 \(O(n\log_2n+q\log_2^2n)\) 。
AC 记录。

[湖南集训]谈笑风生
离线，树状数组， DFS 序。
首先发现 \(b\) 要么是 \(a\) 的祖先，要么是 \(a\) 的子孙且离 \(b\) 不超过 \(k\) 。
前者的贡献很好计算。考虑后者。可以发现，一个合法的 \(b\) 带来的贡献就是 \(siz_b-1\) 。于是转而统计所有合法的 \(b\) 的贡献之和。可以按照深度从小到大插入所有节点，将 \(dep_a+k\) 之前的所有点都插入之后就可以统计 \(a\) 的子树内 \(b\) 的贡献。这个贡献可以很方便地展开到 DFS 序上用树状数组维护。
时间复杂度 \(O((n+q)\log_2n)\) 。
AC 记录。

『MdOI R1』Treequery
可持久化线段树，倍增，分类讨论。 敬请移步正经题解。

「雅礼集训 2018 Day10」贪玩蓝月

栈模拟， DP 。 敬请移步正经题解。

[HDU6793] Tokitsukaze and Colorful Tree
离线，树状数组，DFS 序，分类讨论。敬请移步正经题解。

[CF446C] DZY Loves Fibonacci Numbers
分块暴力，斐波那契。
~~欸真是押韵。~~
正在学习分块，所以写了分块。
尝试直接维护前缀和，因为斐波那契数列有性质：

\[\sum_{i=1}^nf_i=f_{n+2}-1 \]

然后直接维护前缀和，前缀和的差值就变成了：

\[f_3-f_2,f_4-f_2,...,f_{r-l+3}-f_2 \]

于是就变成了两个操作：区间统一加和区间叠加斐波那契。
第一个很好处理。第二个也不难。注意到斐波那契数列还有一个性质：

\[f_{m+n-1}=f_{m-1}f_{n-1}+f_{m}f_n \]

在一个块内，我们将区间叠加的斐波那契记录到左端点上，这些值是 \(f_{m-1}\) 和 \(f_m\) ；而某个点到左端点的距离是固定的，这些值是 \(f_{n-1}\) 和 \(f_n\) 。于是我们只需要记录左端点上的 \(\sum f_{m-1}\) 和 \(\sum f_m\) 。
时间是 \(O(m\sqrt{n})\) 。
AC 记录。

[CQOI2011]动态逆序对
~~谁一天没事就写 CDQ 树套树之类的呀~~
考虑一个在线的算法，不过我们不用树套树。
~~为了保护我们的身体健康~~，我们用分块作为外层结构，这样就会非常好写。
但这里存在一个问题——块的大小是 \(T\) 的情况下，单次询问是 \(O(\frac{n\log_2n}{T})\) ，做 \(m\) 次之后时间有点扛不住。
解决方法嘛 ...... 有两个。