[NOI2020省选]作业题
题目
点这里看题目。
分析
这道题其实是两道题目。
首先可以娴熟地变换一下柿子：
\[\begin{aligned}
\sum_T val(T)
&=\sum_T \left(\sum_{e\in T} w_e\times \gcd_{e\in T}w_e\right)\\
&=\sum_{d=1} d\times \left(\sum_T \sum_{e\in T}w_e\left[\gcd_{e\in T}w_e=d\right]\right)\\
\end{aligned}
\]
尝试定义：
\[\begin{aligned}
f(d)&=\sum_T \sum_{e\in T}w_e\left[\gcd_{e\in T}w_e=d\right]\\
F(n)&=\sum_{n|d} f(d)=\sum_{T} \sum_{e\in T}w_e\left[n\ |\gcd_{e\in T}w_e\right]
\end{aligned}
\]
然后发现\(F(n)\)相对而言好求一些。知道了\(F\)，就可以用莫比乌斯反演或者逆推方法计算出\(f\)，就解决了问题。
发现艾弗森括号内的限制可以通过限制边来解决。对于\(F(n)\)，我们只用\(n|w_e\)的边\(e\)来计算，即可。
于是考虑一个图中，求出：
\[\sum_T \sum_{e\in T}w_e
\]
好像是一个老 trick 了，可是我从没听说过
考虑把边权写成一次函数的形式：\(w\Rightarrow 1+wx\)
然后发现：\((1+w_1x)(1+w_2x)=1+(w_1+w_2)x+w_1w_2x^2\)
忽略二次项，它们的一次项系数加起来了！
然后就可以使用一次函数代替原来的数，并在\(\bmod{x^2}\)的意义下计算，利用“乘法”和矩阵树定理计算边权和。
定义这个新的类型的基本形式为\(a+bx\)，我们还可以定义“四则运算”：
加法：\((a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x\)；
减法：\((a+bx)-(c+dx)=(a-c)+(b-d)x\)；
乘法：\((a+bx)(c+dx)=ac+(bc+ad)x\)；
除法：我们只需要计算逆元：\((a+bx)^{-1}=(a^{-1}-ba^{-2}x)\)，推导过程不难；
然后就可以枚举所有因子计算了。这里有一个剪枝，即当当前的图不连通的时候，我们直接跳掉。时间复杂度大概是\(O(n^4d)\)，其中\(d≈144\)。
代码
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
const int mod = 998244353;
const int MAXN = 35, MAXM = MAXN * MAXN, MAXV = 2e5 + 5;
template<typename _T>
void read( _T &x )
{
x = 0;char s = getchar();int f = 1;
while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
x *= f;
}
template<typename _T>
void write( _T x )
{
if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
putchar( x % 10 + '0' );
}
template<typename _T>
_T MAX( const _T a, const _T b )
{
return a > b ? a : b;
}
int inv( const int );
int qkpow( int, int );
struct linear
{
int k, b;
//f(x)=ax+b
linear() { k = 0, b = 1; }
linear( const int B ) { k = 0, b = B; }
linear( const int K, const int B ) { k = K, b = B; }
linear getInv() const
{
int tmp = inv( b );
return linear( ( mod - 1ll * tmp * tmp % mod * k % mod + mod ) % mod, tmp );
}
linear operator / ( const linear &g ) const { return g * getInv(); }
linear operator + ( const linear &g ) const { return linear( ( k + g.k ) % mod, ( b + g.b ) % mod ); }
linear operator - ( const linear &g ) const { return linear( ( k - g.k + mod ) % mod, ( b - g.b + mod ) % mod ); }
linear operator * ( const linear &g ) const { return linear( ( 1ll * k * g.b % mod + 1ll * b * g.k % mod ) % mod, 1ll * b * g.b % mod ); }
void operator += ( const linear &g ) { *this = *this + g; }
void operator -= ( const linear &g ) { *this = *this - g; }
void operator *= ( const linear &g ) { *this = *this * g; }
void operator /= ( const linear &g ) { *this = *this / g; }
void operator ++ () { b = ( b + 1 >= mod ? b + 1 - mod : b + 1 ); }
operator bool() const { return k || b; }
};
vector<int> vec[MAXV];
linear D[MAXN][MAXN], G[MAXN][MAXN], K[MAXN][MAXN];
int fr[MAXM], to[MAXM], w[MAXM];
int F[MAXV];
int fa[MAXN];
int N, M;
int qkpow( int base, int indx )
{
int ret = 1;
while( indx )
{
if( indx & 1 ) ret = 1ll * ret * base % mod;
base = 1ll * base * base % mod, indx >>= 1;
}
return ret;
}
int inv( const int a ) { return qkpow( a, mod - 2 ); }
int det( linear T[][MAXN], const int n )
{
linear ans, tmp, inver; int indx;
for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
indx = -1;
for( int j = i ; j <= n ; j ++ )
if( T[j][i] )
{ indx = j; break; }
if( indx == -1 ) return 0;
if( indx ^ i ) ans.k *= -1;
swap( T[i], T[indx] ), inver = T[i][i].getInv();
for( int j = i + 1 ; j <= n ; j ++ )
if( T[j][i] )
{
tmp = T[j][i] * inver;
for( int k = i ; k <= n ; k ++ )
T[j][k] -= T[i][k] * tmp;
}
ans *= T[i][i];
}
return ans.k;
}
void makeSet() { for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) fa[i] = i; }
int findSet( const int u ) { return fa[u] = ( fa[u] == u ? u : findSet( fa[u] ) ); }
void unionSet( const int u, const int v ) { fa[findSet( u )] = findSet( v ); }
int main()
{
int mxv = -1;
read( N ), read( M );
for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ ) read( fr[i] ), read( to[i] ), read( w[i] );
for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ )
for( int x = 1 ; x * x <= w[i] ; x ++ )
if( ! ( w[i] % x ) )
{
vec[x].push_back( i );
if( x * x != w[i] ) vec[w[i] / x].push_back( i );
}
for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ ) mxv = MAX( mxv, w[i] );
for( int i = 1, cnt ; i <= mxv ; i ++ )
{
// makeSet();
// for( int j = 0 ; j < vec[i].size() ; j ++ )
// unionSet( fr[vec[i][j]], to[vec[i][j]] );
// cnt = 0;
// for( int j = 1 ; j <= N ; j ++ )
// if( fa[j] == j ) cnt ++;
// if( cnt > 1 ) continue;
if( vec[i].size() < N - 1 ) continue;
for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
for( int j = 1 ; j <= N ; j ++ )
D[i][j] = G[i][j] = K[i][j] = 0;
for( int j = 0 ; j < vec[i].size() ; j ++ )
G[fr[vec[i][j]]][to[vec[i][j]]] += linear( w[vec[i][j]], 1 ),
G[to[vec[i][j]]][fr[vec[i][j]]] += linear( w[vec[i][j]], 1 );
for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
for( int j = 1 ; j <= N ; j ++ )
D[i][i] += G[i][j];
for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
for( int j = 1 ; j <= N ; j ++ )
K[i][j] = D[i][j] - G[i][j];
F[i] = det( K, N - 1 );
}
for( int i = mxv ; i ; i -- )
for( int j = i << 1 ; j <= mxv ; j += i )
F[i] = ( F[i] - F[j] + mod ) % mod;
int ans = 0;
for( int i = 1 ; i <= mxv ; i ++ ) ans = ( ans + 1ll * F[i] * i % mod ) % mod;
write( ans ), putchar( '\n' );
return 0;
}
