[NOI2020省选]组合数问题

题目

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分析

关于组合数，这里有一个基本等式：

\[\binom{n}{k}\times k=\binom{n-1}{k-1}\times n \]

尝试推广一下：

\[\begin{aligned} k^2\times\binom nk&=nk\times \binom{n-1}{k-1}\\ &=n\times \binom{n-1}{k-1}+n(n-1)\times \binom{n-2}{k-2}\\ k^3\times\binom nk&=k\left(n\times \binom{n-1}{k-1}+n(n-1)\times \binom{n-2}{k-2}\right)\\ &=n\times \binom{n-1}{k-1}+3n(n-1)\times \binom{n-2}{k-2}+n(n-1)(n-2)\times \binom{n-3}{k-3}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ k^m\times\binom nk&=\sum_{i=1}^m coe(m,i)\times n^{\underline i}\times \binom{n-i}{k-i} \end{aligned} \]

公式里面的\(coe(m,i)\)，表示当\(k\)的次数为\(m\)、\(n\)的下降幂为\(i\)次的时候的系数。

发现存在递推式：

\[coe(m,i)=coe(m-1,i-1)+i\times coe(m-1,i) \]

其中\(coe(m-1,i-1)\)是从\((k-i+1)\times n^{\underline{i-1}}\times \binom{n-i+1}{k-i+1}\)贡献的；\(i\times coe(m-1,i)\)是\(k\times n^{\underline i}\times \binom{n-i}{k-i}\)结合后留下来的。

然后发现\(coe(m,i)\)实际上就是第二类斯特林数。改写式子得到：

\[k^m\times\binom nk=\sum_{i=0}^m {m \brace i}\times n^{\underline i}\times \binom{n-i}{k-i} \]

为了保证美观以及式子的整齐，利用\({n\brace 0}=0(n>0)\)这个性质，我们把下标放到了\(0\)。

考察原题目：

\[\begin{aligned} &\sum_{k=0}^nf(k)\times x^k\times \binom n k\\ =&\sum_{i=0}^m a_i\sum_{k=0}^nx^k\times k^i\times \binom n k\\ =&\sum_{i=0}^m a_i\sum_{k=0}^nx^k\times \sum_{j=1}^i {i\brace j}\times n^{\underline j}\times \binom{n-j}{k-j}\\ =&\sum_{i=0}^m a_i\sum_{j=0}^i{i\brace j}\times n^{\underline j}\times\left(\sum_{k=j}^nx^k\times \binom{n-j}{k-j}\right)\\ =&\sum_{i=0}^m a_i\sum_{j=0}^i{i\brace j}\times n^{\underline j}\times x^j\times \left(\sum_{k=0}^{n-j}x^k\times \binom{n-j}{k}\right)\\ =&\sum_{i=0}^m a_i\sum_{j=0}^i{i\brace j}\times n^{\underline j}\times x^j\times (1+x)^{n-j} \end{aligned} \]

现在就可以\(O(m^2\log_2 n)\)地计算了。如果追求更优的复杂度，把\((1+x)^{n-j}\)预处理一下就好了。

代码

#include <cstdio>

const int MAXM = 1005;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0;char s = getchar();int f = 1;
	while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
	while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
	if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
	putchar( x % 10 + '0' );
}

int S[MAXM][MAXM];
int A[MAXM], xpw[MAXM];
int N, X, mod, M;

int qkpow( int base, int indx )
{
	int ret = 1;
	while( indx )
	{
		if( indx & 1 ) ret = 1ll * ret * base % mod;
		base = 1ll * base * base % mod, indx >>= 1;
	}
	return ret;
}

void add( int &x, const int v ) { x = ( x + v >= mod ? x + v - mod : x + v ); }

int main()
{
	read( N ), read( X ), read( mod ), read( M );
	for( int i = 0 ; i <= M ; i ++ ) read( A[i] );
	S[0][0] = 1;
	for( int i = 1 ; i <= M ; i ++ )
		for( int j = 1 ; j <= M ; j ++ )
			S[i][j] = ( S[i - 1][j - 1] + 1ll * S[i - 1][j] * j % mod ) % mod;
	for( int i = 0 ; i <= M ; i ++ ) xpw[i] = qkpow( ( X + 1 ) % mod, N - i );
	int ans = 0, tmp, down, pw;
	for( int i = 0 ; i <= M ; i ++ )
	{
		tmp = 0, pw = down = 1;
		for( int j = 0 ; j <= i ; j ++ )
		{
			add( tmp, 1ll * S[i][j] * down % mod * pw % mod * xpw[j] % mod );
			down = 1ll * down * ( N - j ) % mod, pw = 1ll * pw * X % mod;
		}
		add( ans, 1ll * A[i] * tmp % mod );
	}
	write( ans ), putchar( '\n' );
	return 0;
}