min_25 筛入门
什么是 min_25 筛
min_25 筛和洲阁筛、杜教筛一样，是一种低于线性的用于求积性函数前缀和的筛法。常用 min_25 筛的时间复杂度为 $ O(\frac{n^{\frac34}}{\log n}) $ ，而经过优化可以达到 $ O(n^{\frac23}) $ （但是常数巨大且一般用不着）。
前置知识
数论函数
数论函数：满足 \(f:\mathbb N_+\rightarrow \mathbb C\) 的函数为数论函数。一般用到的是 \(f:\mathbb N_+\rightarrow \mathbb Z\) 的函数。
积性函数：若数论函数 $ f(x) $ 满足 $ \forall a,b\in \mathbb N_+,(a,b)=1\Rightarrow f(ab)=f(a)f(b) $ ，则称 $ f(x) $ 为积性函数。
完全积性函数：若数论函数 $ f(x) $ 满足 $ \forall a,b\in \mathbb N_+\Rightarrow f(ab)=f(a)f(b) $ ，则称 $ f(x) $ 完全积性函数。
狄利克雷卷积：对于数论函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ ，它们的狄利克雷卷积 $ (f*g)(x)=\sum_{i|x}f(i)g(\frac x i) $ 。
常见的积性函数有： $ \varphi(x),\mu(x), $ 题目定义的 $ ,\dots\dots $
常见的完全积性函数有： $ id(x)=x; \epsilon(x)=[x=1]; I(x)=1; ...... $
一些有趣的性质：
以下， $ P $ 为质数集合， $ p_i(i>0) $ 表示第 $ i $ 个质数， $ mp(n)(n>0) $ 表示 $ n $ 的最小质因子。
埃拉托色尼筛
算法思想：对于质数 $ p $ ，将 $ p $ 的倍数全部筛掉。时间复杂度为 $ O(n\log\log n) $
注意：对于质数 $ p $ ，被筛掉数一定 $ \ge p^2 $；否则它一定会有 $ < p $ 质因子。
欧拉筛
算法思想：对于每个数 $ i $ ，筛掉那些 $ mp\le mp(i) $ 的数。可以发现每个数只会在 $ mp $ 处被筛掉，因此是线性筛。
min_25 筛
一般筛不够优秀的原因就是，它们枚举了数据范围内的每一个数，因此时间不会低于线性。
而低于线性的筛，就是利用算数基本原理，先计算质数的贡献，再推出合数的贡献。
min_25 筛的计算条件为：积性函数 $ f(x) $ 在质数处可以被表示为简单多项式，并且对于质数， $ f(p^c) $ 可以被高速算出。
计算质数贡献
我们考虑先计算质数的贡献。即：
由于 $ f $ 在质数处可以被表示为简单多项式，所以我们可以对于多项式的每一项分别计算。即只用考虑：
考虑这样一个 DP ：
$ g_{n,j}$ ：前 $ n $ 个数进行 $ j $ 轮埃筛之后的贡献和。
可以表达为：
设 $ P'=[1,\lfloor\sqrt n\rfloor]\cap P $ ，即 $ \sqrt n $ 范围内的质数。不难发现，由于每个合数 $ m $ 必然有一个 $ \le \sqrt m $ 的质因子，因此我们只需要将 $ P' $ 中的质数全部筛一遍， $ [1,n] $ 剩下的都是质数了。故 $ g_{n,|P'|} $ 就是我们需要的质数的贡献。
初始状态为：
可以得到转移为：
当 $ a< p_b^2 $ 的时候，不会筛掉任何数；否则考虑减掉的贡献。显然那些最小质因子为 $ p_b $ 的数会被筛掉，即 $ g_{\lfloor\frac a{p_b}\rfloor,b-1} $ ；但是这个东西里面有 $ 1\sim b-1 $ 的质数，不应该减掉，因此还要再补上 $ g_{p_{b-1},b-1} $ 。
这一部分可以用滚动数组优化。
计算总贡献
对于总的贡献，我们设这样一个函数 $ S(a,b) $ ：
请注意这里并没有质数的专门贡献，且里面的要求是 " 最小质因子不小于 $ p_b $ " 。
其中质数的贡献已经算出来了。对于合数的情况，我们枚举它的最小质因子和其指数，可以得到：
其中 $ \sum_{i=1}^{b-1}f(p_i) $ 可以预先筛出来。然后 $ S(\lfloor\frac a{p_i^e}\rfloor,i+1) $ 可以递归下去继续算。
实现
首先需要对 $ [1,\sqrt n] $ 里面的数进行一发线性筛求出质数。
根据整除分块理论，我们在代入 $ S(n,1) $ 计算的时候，实际上 $ a $ 的取值只有 $ O(\sqrt n) $ 个。因此我们可以预处理这 $ O(\sqrt n) $ 个取值的离散化后下标。设其中一种取值为 $ x $ ，那么当 $ x\le \sqrt n $ 的时候，我们直接将下标存下来；否则，由于 $ \lfloor\frac n x\rfloor\le \sqrt n $ ，我们将下标存在 $ \lfloor\frac n x\rfloor $ 里面。
例题
[LOJ]区间素数个数
这里不需要求 $ S $ 的步骤，直接用第一步就可以了。
代码如下：
#include <cmath>
#include <cstdio>
typedef long long LL;
const int MAXS = 1e6 + 5;
template<typename _T>
void read( _T &x )
{
x = 0;char s = getchar();int f = 1;
while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
x *= f;
}
template<typename _T>
void write( _T x )
{
if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
putchar( x % 10 + '0' );
}
LL val[MAXS << 1], g[MAXS];
int id1[MAXS], id2[MAXS];
int prime[MAXS], pn;
LL N;
int s, tot;
bool isPrime[MAXS];
void EulerSieve( const int siz )
{
isPrime[1] = true;
for( int i = 2 ; i <= siz ; i ++ )
{
if( ! isPrime[i] ) prime[++ pn] = i;
for( int j = 1 ; j <= pn && 1ll * i * prime[j] <= siz ; j ++ )
{
isPrime[i * prime[j]] = true;
if( ! ( i % prime[j] ) ) break;
}
}
}
int getID( const LL x ) { return x <= s ? id1[x] : id2[N / x]; }
signed main()
{
read( N );
s = sqrt( N ), tot = 0;
EulerSieve( s );
for( LL l = 1, r, v ; l <= N ; l = r + 1 )
{
v = N / l, r = N / ( N / l );
if( v <= s ) id1[v] = ++ tot;
else id2[N / v] = ++ tot;
val[tot] = v, g[tot] = v - 1;
}
for( int j = 1 ; j <= pn ; j ++ )
for( int i = 1 ; i <= tot && 1ll * prime[j] * prime[j] <= val[i] ; i ++ )
g[i] -= g[getID( val[i] / prime[j] )] - ( j - 1 );
write( g[getID( N )] ), putchar( '\n' );
return 0;
}
[LG P4213]杜教筛
正所谓 " 树套树的题怎么能用树套树做呢？ " ，杜教筛的题怎么能用杜教筛？
考虑 min_25 ——事实上， min_25 最重要的地方就是求出 $ g $ ，而后推 $ S $ 其实就是板子的事情了。
当 $ p $ 为质数时， $ \varphi(p)=p-1, \mu(p)=-1 $ ，因此我们只需要用 $ g $ 求出素数个数和素数和即可。之后就是递归的事情了。
代码如下：
#include <cmath>
#include <cstdio>
typedef long long LL;
#define int LL
const int MAXS = 1e5 + 5;
template<typename _T>
void read( _T &x )
{
x = 0;char s = getchar();int f = 1;
while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
x *= f;
}
template<typename _T>
void write( _T x )
{
if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
putchar( x % 10 + '0' );
}
template<typename _T>
_T MAX( const _T a, const _T b )
{
return a > b ? a : b;
}
LL gPhi[MAXS], gMu[MAXS], g1[MAXS], g2[MAXS];
LL ps[MAXS], ms[MAXS];
int val[MAXS], id1[MAXS], id2[MAXS];
int prime[MAXS], pn;
int N, s, cnt, tot;
bool isPrime[MAXS];
LL sqr( const LL x ) { return x * x; }
int getID( const int x ) { return x <= s ? id1[x] : id2[N / x]; }
void EulerSieve( const int siz )
{
isPrime[1] = true;
for( int i = 2 ; i <= siz ; i ++ )
{
if( ! isPrime[i] ) prime[++ pn] = i;
for( int j = 1 ; j <= pn && 1ll * i * prime[j] <= siz ; j ++ )
{
isPrime[i * prime[j]] = true;
if( ! ( i % prime[j] ) ) break;
}
}
for( int i = 1 ; i <= pn ; i ++ ) ps[i] = ps[i - 1] + prime[i] - 1, ms[i] = ms[i - 1] - 1;
}
LL SPhi( const int a, const int b )
{
if( a < prime[b] ) return 0;
LL ret = gPhi[getID( a )] - ps[b - 1];
if( b > tot ) return a <= prime[tot] ? 0 : ret;
LL phi, p, tmp;
for( int i = b ; i <= tot && 1ll * prime[i] * prime[i] <= a ; i ++ )
{
phi = prime[i] - 1, p = prime[i];
for( int j = 1 ; p * prime[i] <= a ; j ++, p *= prime[i], phi *= prime[i] )
ret += ( SPhi( a / p, i + 1 ) * phi + p * ( prime[i] - 1 ) );
}
return ret;
}
LL SMu( const int a, const int b )
{
if( a < prime[b] ) return 0;
LL ret = gMu[getID( a )] - ms[b - 1];
if( b > tot ) return a <= prime[tot] ? 0 : ret;
for( int i = b ; i <= tot && 1ll * prime[i] * prime[i] <= a ; i ++ ) ret -= SMu( a / prime[i], i + 1 );
return ret;
}
signed main()
{
int T;
read( T );
EulerSieve( 1e5 );
while( T -- )
{
read( N );
s = sqrt( N );
for( tot = 1 ; prime[tot] <= s ; tot ++ );
tot --, cnt = 0;
for( int l = 1, r, v ; l <= N ; l = r + 1 )
{
r = N / ( v = N / l );
if( v <= s ) id1[v] = ++ cnt;
else id2[N / v] = ++ cnt;
val[cnt] = v;
g1[cnt] = v - 1, g2[cnt] = ( 1ll * v * ( v + 1 ) >> 1 ) - 1;
}
for( int j = 1, k ; j <= tot ; j ++ )
for( int i = 1 ; i <= cnt && 1ll * prime[j] * prime[j] <= val[i] ; i ++ )
{
k = val[i] / prime[j];
g1[i] -= g1[getID( k )] - ( j - 1 );
g2[i] -= 1ll * prime[j] * ( g2[getID( k )] - g2[getID( prime[j - 1] )] );
}
for( int i = 1 ; i <= cnt ; i ++ ) gPhi[i] = g2[i] - g1[i], gMu[i] = - g1[i];
write( SPhi( N, 1 ) + 1 ), putchar( ' ' );
write( SMu( N, 1 ) + 1 ), putchar( '\n' );
}
return 0;
}
历史遗留问题
这是在 2022 的 update，距离我写这篇博客大约有两年。这段时间内基本上没有写过这个算法，主要还是因为 Powerful Numbers 这套工具太香了，所以冒出来了一些问题。
求 \(g\) 和求 \(S\) 的方法一样吗？
准确来说是不太一样的。
求 \(g\) 的核心在筛上，可以理解为我们在用 DP 去维护埃氏筛的过程；尤其需要注意的是里面去重的那个步骤，容易忘记具体内容。
而求 \(S\) 的核心其实是搜。\(S\) 的计算可以看作是搜索过程的优化，因为平时写暴力的时候也可以使用类似的方法来按照质因子搜索 \([1,n]\) 内的每个数。
关于 \(S\) 的细节
既然 \(S\) 本质上是搜索，那么我们就应该关注其中的剪枝小技巧。
细节一：\(S\) 的边界
\(S\) 搜索的范围是 \([2,n]\)，因此任何一个搜索状态下我们都不会计算 1 的贡献。这是一个有效的剪枝，同时也要求我们必须单独计算所有质数位置的值，而不能通过某些小技巧达成这一点。
细节二：搜索下一个因子
平时搜索的一种写法是，遍历所有质数，并且允许某些质数的指数为 0。这是一个比较低效的方法，因为这个情况下我们会经过无用状态（也就是我们搜索了这个状态，但并没有产生有效贡献）。因此 \(S\) 的搜索过程中就直接枚举下一个因子了。
细节三：指数剪枝
为什么 \(f(p^{e+1}_i)\) 可以和 \(S(\lfloor\frac n{p^e_i}\rfloor,i+1)\) 如此融洽地共存呢？为什么指数的限制为 \(p_i^{e+1}\le n\) 呢？
我们可能会认为，\(f(p_i^{e+1})\) 和 \(S(\lfloor\frac n{p^e_i}\rfloor,i+1)\) 应该在两个和式内分别计算。但实际上，如果 \(\lfloor\frac n{p_i^e}\rfloor\le p_i\)，那么 \(S(\lfloor\frac n{p_i^e}\rfloor,i+1)\) 必然为 0，我们没有必要多经过一个状态浪费时间。因此这也是一个小小的剪枝技巧。
