[BJWC2011]元素

题目

  点这里看题目。

分析

  如果称\(Magic\)为权，\(Number\)为值，我们需要求的是一个异或意义下，值线性不相关而且权的和最大的问题，也就是权值之和最大的极大线性无关组。
  看到这个形式的问题，我们就可以考虑向拟阵的方向去靠一靠了。
  设\(S=\{Number_i\}, I=\{x:x\subseteq S, \text{x的任意非空子集是线性无关的}\}\)。
  考虑\(<S,I>\)是否为一个子集系统：
  遗传性：假如有\(B\in I\)，则对于任意一个非空\(A\subseteq B\)，由于\(B\)的任意非空子集线性无关，所以\(A\)的任意非空子集也是线性无关的，因此\(A\in I\)，证毕。
  考虑\(<S,I>\)是否为一个拟阵：
  交换性：设\(A,B\in I,|A|<|B|\)，我们要证明，\(\exists x\in B-A, A\cup \{x\}\in I\)。
  反证法，即假设对于任意\(x\in B-A\)，都不满足\(A\cup \{x\}\in I\)。这说明这样的\(x\)全在\(A\)的线性空间中（即都可以用\(A\)中的异或出来）。因此\(B\)的元素全在\(A\)的线性空间中，因此\(B\)的线性空间包含在\(A\)的线性空间中。由于\(|A|<|B|\)，且\(A\)和\(B\)各自的任意非空子集都是线性无关的，因此矛盾。因此存在交换律，证毕。

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  说了这么多我觉得大家也不太想看。
  简单来说，我们就可以直接按照拟阵的贪心思路，维护一个线性无关组\(A\)，将矿石按照\(Magic\)从大到小在保证线性无关的前提下尝试着插入到\(A\)，如果可以插入就可以计入答案。线性无关组可以用线性基来维护，因此时间是\(O(n\log_2n +n\log_2 Number_{\max})\)。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int MAXN = 1005, MAXLOG = 70;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0;char s = getchar();int f = 1;
	while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
	while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
	if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
	putchar( x % 10 + '0' );
}

struct element
{
	LL num; int mag;
	element() { num = mag = 0; }
	bool operator < ( const element & b ) const { return mag > b.mag; }
}a[MAXN];

LL base[MAXLOG];
int N;

void insert( LL v )
{
	for( int j = 60 ; ~ j ; j -- )
		if( v >> j & 1 )
		{
			if( ! base[j] ) { base[j] = v; break; }
			v ^= base[j];
		}
}

bool chk( LL v )
{
	for( int j = 60 ; ~ j ; j -- )
		if( v >> j & 1 )
			v ^= base[j];
	return ! v;
}

int main()
{
	read( N );
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read( a[i].num ), read( a[i].mag );
	std :: sort( a + 1, a + 1 + N );
	int ans = 0;
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) if( ! chk( a[i].num ) ) ans += a[i].mag, insert( a[i].num );
	write( ans ), putchar( '\n' );
	return 0;
}