[CF724E]Goods Transportation

题目

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分析

首先不难想到一个网络流的做法。

新建源点 \(S\) 和汇点 \(T\) 。对于每个点 \(i\) ，连接 \((S,i)\) ，流量为 \(p_i\) ；连接 \((i,T)\) ，流量为 \(s_i\) 。对于 \(i<j\) ，连接 \((i,j)\) ，流量为 \(c\) 。答案即为这个图的最大流。

这样做是 \(O(n^4)\) 的，当然会超时。

考虑优化。根据最大流最小割定理，我们考虑哪些边会满流被割掉。发现对于\(i\)而言，这与之前的点的所属集合的情况相关。因此可以得到状态：

\(f(i,j)\) ：前 \(i\) 个点，有 \(j\) 个点在 \(S\) 集合的最小割。

转移就是考虑当前的点所属的集合的情况：

\[f(i,j)=\min\{f(i-1,j)+j\times c+p_i, f(i-1,j-1)+s_i\} \]

时间 \(O(n^2)\) ，空间可以滚动数组优化到 \(O(n)\) 。

代码

#include <cstdio>

typedef long long LL;

const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e4 + 5;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0;char s = getchar();int f = 1;
	while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
	while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
	if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
	putchar( x % 10 + '0' );
}

template<typename _T>
_T MIN( const _T a, const _T b )
{
	return a < b ? a : b;
}

LL f[MAXN];
int p[MAXN], s[MAXN];
int N, c;

int main()
{
	read( N ), read( c );
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read( p[i] );
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read( s[i] );
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) f[i] = INF;
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
		for( int j = i ; ~ j ; j -- )
			f[j] = MIN( f[j] + 1ll * j * c + p[i], j ? ( f[j - 1] + s[i] ) : INF );
	LL ans = INF;
	for( int i = 0 ; i <= N ; i ++ ) ans = MIN( ans, f[i] );
	write( ans ), putchar( '\n' );
	return 0;
}