随笔分类 - 数学-推式子
摘要：题目 点这里看题目。 分析 也许是相对来说不那么难骗分的一道 NOI T3。 首先我们需要知道分数 \(\frac{x}{y}\) 合法的充要条件。这一步在考场上可以通过如下步骤得到： 根据小学奥数可以知道，十进制下所有有限小数都满足分母为 \(2^a5^b,a,b\in\mathbb Z\)；所有
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 这里有一个很重要的转化——如果某一列已经满了，我们仍然认为它可以 " 装 " 人，只不过没有效果而已。 对于某个操作序列，我们现在可以只看有效的操作。那么有 \(p\) 列已满的情况下，选出 \(n-p\) 中某一列概率为： \[ \sum_{k=0}^{+\infty}
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 不妨设 \(P=\sum_i p_i\) 。 简单的情况是，如果我们去掉第一次为目标状态的限制，那么可以设 \(g_n\) 为操作 \(n\) 次后达成目标状态的概率，就得到了一个很好计算的东西。不难发现这其实就是限制了按钮被操作次数，可以直接得出其指数型生成函数： \[
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 看见大家都写数位 DP ，可是我就是不会数位 DP 。 为了方便描述，不妨设 \(m\) 为进制，在这个问题中 \(m=10\) 。 类似于数位 DP ，我们可以限制当前的数在前 \(i\) 位与 \(X\) 相同，且在第 \(i+1\) 位比 \(X\) 小，那么在更低
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 这......看到 \(m\) 这么小，然后看到条件这么奇葩，显然是容斥计算。 但是先不慌，我们先考虑在没有任何限制的时候该怎么计算。 考虑枚举选的人数 \(s\) ，然后找出哪些佣兵在选的人数为 \(s\) 的时候可以被选，设为 \(a_s\) 。那么总的方案数就是：
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摘要：题目 点这里看原版题目。 点这里看加强题目。 分析 简单版 不难发现 \(f(n)=\mu^2(n)\) 。 （这里定义 \(f^k(n)=(f(n))^k\) ） 然后开始娴熟地推式子： \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \mu^2(\gcd
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摘要：题目 题目描述 对于给定参数 \(n, m, k\) ，合法的正整数序列 \(a,b\) 分别满足： \(a\) 和 \(b\) 的长度都是 \(k\)； \(\sum_{i=1}^k a_i=n\) 且 \(\sum_{i=1}^k b_i=m\)； 现在对于合法的 \(a\) 和 \(b\)，定
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先可以娴熟地推倒一发式子： \[ \begin{split}&f_k(n)&\overset{\mathrm{def}}{=}f(k,n)\\\Rightarrow &f_k(n)&=\sum_{i=1}^{n-1}f_k(i)+n^k\\\end{split} \]
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 考虑如下递推： \(f_i\)：$i$个点的无向有标号连通图的个数。 \(g_i\)：$i$个点的无向有标号图的个数。 以下给出两种计算方式。 法一 不难看出一个式子： \(g_n=\sum_{i=1}^n\binom{n-1}{i-1}f_ig_{n-i}\) 这相当于
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 这道题其实是两道题目。 首先可以娴熟地变换一下柿子： \[ \begin{aligned} \sum_T val(T) &=\sum_T \left(\sum_{e\in T} w_e\times \gcd_{e\in T}w_e\right)\\ &=\sum_{d=1
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摘要：题目 点这里看题目 分析 关于组合数，这里有一个基本等式： \(\binom{n}{k}\times k=\binom{n-1}{k-1}\times n\) 尝试推广一下： \[ \begin{aligned} k^2\times\binom nk&=nk\times \binom{n-1}{k-
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 是挺奇怪的...... 以下定义质数集合为$P$，$p_i$为第$i$个质数。 定义$mp(x)$为$x$的最小质因子，则可以得到： \(sgcd(a,b)=\frac{\gcd(a,b)}{mp(\gcd(a,b))}\) 这个比较显然。然后可以娴熟地变换式子得到： \
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