随笔分类 - 技巧-构造与转化
摘要：题目 点这里看题目。 分析 对于这种构造题目，我们首先考虑边界情况。比如，我们可以计算不平衡点的上界，并且找到对应的构造方案，然后构造出来。 这个上界可以如下构造： o / \ o o / \ o o / ... / o / \ o o 也就是，首先构造一条链，长度为 \(\frac{n+1}{2}
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 这道题......第一眼以为是和 [CF1025G]Company Acquisitions 相似的题目。 最后发现它们确实很像......仅限于思考方向，实际方法完全不同。 本题中，由于树是二分图，因此我们可以对它进行黑白染色。对于菊花图，某种颜色只出现在一个点上。因此
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摘要：题目 题目描述 对于给定参数 \(n, m, k\) ，合法的正整数序列 \(a,b\) 分别满足： \(a\) 和 \(b\) 的长度都是 \(k\)； \(\sum_{i=1}^k a_i=n\) 且 \(\sum_{i=1}^k b_i=m\)； 现在对于合法的 \(a\) 和 \(b\)，定
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 题目明显是要求我们求方案数。 显然这道题没有办法直接做。 考虑转化一下题目条件。可以发现我们应该让 \(A\) 中多余的 1 换到 \(A\) 中缺少 1 的位置去。为了使描述更加清晰，我们这样定义： 公共点（\(P\)）：满足 \(A_i=1\land B_i=1\)
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 好美妙的思维题目！反正我是做不来了。 显然我们可以对于每一个点计算它作为根的答案，这个答案又可以通过 DP 的方式求出来。 它难道还能不是个 DP ? 直接求解概率比较复杂，而操作序列的总方案数比较好求，是 \((n-1)!\) 。不过，由于同一个操作序列的成功概率会因为
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先，由于仅仅是 " 存在 " 这一条限制很容易导致计重，且总方案数就是 $10^n$ 。我们就可以考虑求补集，也就是不存在的情况。 然后有一个很显然的 DP : \(f(i,S)\)：序列长度为 \(i\) ，此时序列的和 \(\le X + Y + Z\) 的极长后缀
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摘要：题目 大意如下： 本题中的定义基于 [CSP2019]括号树 。 给定一棵树，树上节点有对应字符，均为 ( 或 )。 定义 \(ans(P,Q)\) 表示从 \(P\) 到 \(Q\) 的简单路径上的字符（包含两端）组成的字符串中，合法的子串的数量。 请你求出： \(\sum_{P=1}^n\sum
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先我们可以考虑不存在任何限制的时候该怎么做。 根据 \(Pr\overset{..}{u}fer\) 序列直接得出答案为 \(n^{n-2}\) 。 忽略那种做法，因为它难以处理 LCA 的限制。看到 \(n\) 很小，我们可以想到一个状态压缩的 DP : \(f(u,
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 奇奇妙妙的题目。 直接修改树上的路径会影响到很多条边，并不方便处理。我们需要压缩受影响信息的数量。 由于对点的处理更加灵活，因而我们考虑将边权转为点权。 考虑修改树上路径经常与树上差分挂钩，我们可以猜想第一种方法：给点赋权为它到根上所有边的权的异或和。 但是没有什么用，因
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先，我们很容易看出，在 \(s\) 和 \(f\) 确定时，\(c\) 的备选数量就等于**$s$到$f$所有简单路径的并的大小减二**（要把$s$和$f$去掉）。 随手画几个图就会发现， \(s\) 到 \(f\) 所有简单路径的并似乎也就是**$s$到$f$经过的所
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先可以娴熟地推倒一发式子： \[ \begin{split}&f_k(n)&\overset{\mathrm{def}}{=}f(k,n)\\\Rightarrow &f_k(n)&=\sum_{i=1}^{n-1}f_k(i)+n^k\\\end{split} \]
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摘要：题目 点这里看题目。 题目大意： 有$n$个水果，第$i$个水果有甜度值$v_i$。不甜的水果的甜度值是$-1$。现在将它们连成一棵树。水果$x$在树上是“真甜”的，当且仅当： \(\exists y,v_y>-1,(x,y)\in E\) 即存在另一个甜的水果与它有边连接。 求真甜的水果的甜度值之
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 考虑如下递推： \(f_i\)：$i$个点的无向有标号连通图的个数。 \(g_i\)：$i$个点的无向有标号图的个数。 以下给出两种计算方式。 法一 不难看出一个式子： \(g_n=\sum_{i=1}^n\binom{n-1}{i-1}f_ig_{n-i}\) 这相当于
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 考察一下矩阵树定理的基本式子： \(\sum_T \prod_{e\in T} w_e\) 设$v(T)$为$T$的权值，我们发现，$v(T)$应该是$T$中的边的“某种意义”下的积。 这意味着，我们只需要能够保证$v(T)$的贡献可分割，便可以定义一个存在基础四则运算的
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 这道题其实是两道题目。 首先可以娴熟地变换一下柿子： \[ \begin{aligned} \sum_T val(T) &=\sum_T \left(\sum_{e\in T} w_e\times \gcd_{e\in T}w_e\right)\\ &=\sum_{d=1
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摘要：题目 比赛界面。 T1 不难想到，对于一个与$k$根棍子连接的轨道，我们可以将它拆分成$k+1$个点，表示这条轨道不同的$k+1$段。 那么，棍子就成为了点与点之间的边。可以发现，按照棍子连边之后，我们一定可以得到一些链。假设每条轨道的最后一段作为链头，查询实际上就是查询所在链的链头。 使用 LCT
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摘要：题目 比赛界面。 T1 比较简单。容易想到是求鱼竿的最大独立集。由于题目的鱼竿可以被分割为二分图，就可以想到最大匹配。 尝试建边之后会发现边的数量不小，但联系题目性质会发现对于一条鱼竿，它会影响的垂直方向上的鱼竿一定是一个区间，因此再套一发线段树优化即可。 这里不建议写倍增优化，因为倍增的点是$O(
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 可以发现，符合条件的分数约分后，其分母必须为$2m5k$。因此，原分数一定可以表示为： \(\frac{XY}{2^m5^kX}\) 其中$(10,X)=1, XY\le n, 2m5kX\le n$。 可以发现，这样枚举可以保证分母不重复，因而保证枚举出的分数不重复。
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