随笔分类 - 数学-生成函数
摘要：题目 点这里看题目。 分析 这里有一个很重要的转化——如果某一列已经满了，我们仍然认为它可以 " 装 " 人，只不过没有效果而已。 对于某个操作序列，我们现在可以只看有效的操作。那么有 \(p\) 列已满的情况下，选出 \(n-p\) 中某一列概率为： \[ \sum_{k=0}^{+\infty}
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 不妨设 \(P=\sum_i p_i\) 。 简单的情况是，如果我们去掉第一次为目标状态的限制，那么可以设 \(g_n\) 为操作 \(n\) 次后达成目标状态的概率，就得到了一个很好计算的东西。不难发现这其实就是限制了按钮被操作次数，可以直接得出其指数型生成函数： \[
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 看见大家都写数位 DP ，可是我就是不会数位 DP 。 为了方便描述，不妨设 \(m\) 为进制，在这个问题中 \(m=10\) 。 类似于数位 DP ，我们可以限制当前的数在前 \(i\) 位与 \(X\) 相同，且在第 \(i+1\) 位比 \(X\) 小，那么在更低
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摘要：大概是组合计数问题的基础，因此稍微写一下。 或者说，尝试复习，发现自己都不会了，所以应该写一下。 约定 这一类问题都可以在问题确定是，用两个参数 \(n,r\) 来描述。其中 \(n\) 表示球数， \(r\) 表示盒数。 为了方便描述，以下用一串二进制码表示问题的状态。例如 0101 ： 第一位表
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摘要：题目 题目描述 对于给定参数 \(n, m, k\) ，合法的正整数序列 \(a,b\) 分别满足： \(a\) 和 \(b\) 的长度都是 \(k\)； \(\sum_{i=1}^k a_i=n\) 且 \(\sum_{i=1}^k b_i=m\)； 现在对于合法的 \(a\) 和 \(b\)，定
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 考虑如下递推： \(f_i\)：$i$个点的无向有标号连通图的个数。 \(g_i\)：$i$个点的无向有标号图的个数。 以下给出两种计算方式。 法一 不难看出一个式子： \(g_n=\sum_{i=1}^n\binom{n-1}{i-1}f_ig_{n-i}\) 这相当于
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摘要：前言 本篇文章为基础的多项式计算的集合。 文章中涉及到的多项式计算，通常会在生成函数中使用到。 另外，模板题可以去洛谷上面找，一搜就有。 代码有一点需要注意：如果你看到上下文中代码的调用方式不一样，不要惊慌。 这是因为，我的写法是，给每个运算开辟一个 namespace 。如果是牛顿迭代法计算的话，
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 考察一下矩阵树定理的基本式子： \(\sum_T \prod_{e\in T} w_e\) 设$v(T)$为$T$的权值，我们发现，$v(T)$应该是$T$中的边的“某种意义”下的积。 这意味着，我们只需要能够保证$v(T)$的贡献可分割，便可以定义一个存在基础四则运算的
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 不难发现，设两人取得的下标集合为$S_a$和$S_b$，那么符合要求的下标集合对需要满足$S_a$和$S_b$对应的值全部异或起来为 0 。 因此，我们可以考虑异或为$0$的下标集合$S$，它对答案的贡献就是$2^{|S|}$。 根据这个思想，我们可以考虑如下的 DP ：
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