随笔分类 - 数学-生成函数
摘要：题目 点这里看题目。 分析 由于本题明显涉及到了两个需要控制的变量，也就是序列长度和序列权值，我们引入二元生成函数，用 \(x\) 的指数描述长度，用 \(y\) 的指数描述权值。 容易发现，序列上可以被划分成两种极长连续段的交错组合：黑白段和灰色段。考虑到两个黑白段之间必然存在非空灰色段，我们把灰
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先，设原图的最小生成树的边集为 \(T\)，则容易得到： \[ \begin{aligned} E(\max_{x\in T}e_x) &=\int_{0}^1P(t<\max_{x\in T}e_x)\mathrm dt \end{aligned} \] 而可以发现
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 省流版：求结点个数为 \(n\) 的结点儿子数不超过 3 的无标号有根树个数。 对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1\le n\le 10^5\)。 分析 首先，遇到这种问题，不难猜想使用生成函数；并且，其余一大堆树计数的问题，都可以用生成函数解决。 设 \(G(x)
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 非常巧妙的一道题目。 首先，我们可以思考如果没有 $a_{R,C}=V$ 的限制，问题应该如何求解。一种巧妙的思考方式是，我们可以对于 $i\in [1,K)$ 勾勒出 $\le i$ 的元素和 $>i$ 的元素之间的分界线。这样的话，如果我们从 0 开始给行列的
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 对答案变形： \[ \sum_{e\in P}c_{e_u}+c_{e_v}=2\sum_{w\in P,w\not=u,w\not= v}c_w+c_u+c_v \] 因此我们需要关心的是最终路径上非 \(u\) 且非 \(v\) 的点的点权和。 假设 \(u<v\)，
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 介绍两种做法，一种是简单的题解方法，另一种是复杂的做法。 题解 假设有 \(C\) 种不同的颜色，我们可以先将颜色离散化，标号为 \(1,2,\dots,C\)。设第 \(i\) 种颜色数量为 \(a_i\)。 “不同的颜色的数量”也就是出现了的颜色的种数。因此我们可以设
阅读全文
摘要：题目 给定 \(n,k\)，求所有 \(\{1,2,\dots,n\}\) 的排列中，逆序对数量为 $k$ 的排列的数量，对 \(10^9+7\) 取模。 数据范围：对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1\le n\le 10^5,1\le k\le \min\{10^5,\binom{n
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 极度简洁版本： 给定长度为 \(n\) 的置换 \(A\)，在对称群 \(S_n\) 中求 \(P^k=A\) 的解的个数。 数据范围：对于 \(100\%\) 的数据，有 \(1\le n\le 10^5,0\le k\le 10^6\)； 分析 绝世好阴间题。 首先，通过阅
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先不难通过容斥将问题转化为任何一个矩形都不超过 \(K\) 这样的问题。 同时注意到最终影响最大矩形的只有每一列上从底部开始连续的一段安全水域的长度，我们将第 \(i\) 列的称为 \(h_i\)，则合法的条件是： \[ \forall 1\le l\le r\le n
阅读全文
摘要：数论函数的级数 在此主要介绍狄利克雷级数和贝尔级数。 狄利克雷级数 狄利克雷级数是定义在任意数论函数上的一种级数，对于数论函数 \(f\) ，我们定义它的狄利克雷级数为： \[ F(z)=\sum_{k\ge1 }f(k)k^{-z}=\sum_{k\ge 1}\frac{f(k)}{k^{z}}
阅读全文