随笔分类 - 数学-组合-容斥
摘要：题目 点这里看题目。 分析 不妨设 \(P=\sum_i p_i\) 。 简单的情况是，如果我们去掉第一次为目标状态的限制，那么可以设 \(g_n\) 为操作 \(n\) 次后达成目标状态的概率，就得到了一个很好计算的东西。不难发现这其实就是限制了按钮被操作次数，可以直接得出其指数型生成函数： \[
阅读全文
摘要：大概是组合计数问题的基础，因此稍微写一下。 或者说，尝试复习，发现自己都不会了，所以应该写一下。 约定 这一类问题都可以在问题确定是，用两个参数 \(n,r\) 来描述。其中 \(n\) 表示球数， \(r\) 表示盒数。 为了方便描述，以下用一串二进制码表示问题的状态。例如 0101 ： 第一位表
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 这......看到 \(m\) 这么小，然后看到条件这么奇葩，显然是容斥计算。 但是先不慌，我们先考虑在没有任何限制的时候该怎么计算。 考虑枚举选的人数 \(s\) ，然后找出哪些佣兵在选的人数为 \(s\) 的时候可以被选，设为 \(a_s\) 。那么总的方案数就是：
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 看到链的限制很奇葩， " 存在一个重要的选择 " ，于是就不难想到容斥。 首先定义 \((u_1,v_1)\cup (u_2,v_2)\) 表示求两条路径的边的并集。 显然容斥式子长这个样子： \[ \sum_{S\subset Q} (-1)^{|S|}\times 2
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 感觉比往年的 NOIP 的 D2T1 更难。不过看看 D1T3 也就觉得挺合理了。 32pts 暴力搜索不多说，时间 \(O(m(m+1)^n)\) ，其中的 \(O(m)\) 用于检查。 64pts 这是考场上的思路，想了大概 10 min 不到。 针对 \(m\) 很
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 题目大意： 有$n$个水果，第$i$个水果有甜度值$v_i$。不甜的水果的甜度值是$-1$。现在将它们连成一棵树。水果$x$在树上是“真甜”的，当且仅当： \(\exists y,v_y>-1,(x,y)\in E\) 即存在另一个甜的水果与它有边连接。 求真甜的水果的甜度值之
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 这道题其实是两道题目。 首先可以娴熟地变换一下柿子： \[ \begin{aligned} \sum_T val(T) &=\sum_T \left(\sum_{e\in T} w_e\times \gcd_{e\in T}w_e\right)\\ &=\sum_{d=1
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 看到 n 很小，限制条件又这么复杂，显然可以直接容斥。 我们实际上只需要保证每个公司都有边可以修建（树的性质保证最终每个公司有且仅有一条边可以修建）。因此不难有容斥： \[ \begin{aligned} f(k):&\text{有}k\text{个公司没有边修建的方案数
阅读全文
摘要：题目 比赛界面。 T1 数据范围明示直接$O(n^2)$计算，问题就在如何快速计算。 树上路径统计通常会用到差分方法。这里有两棵树，因此我们可以做“差分套差分”，在 A 树上对 B 的差分信息进行差分。在修改的时候，我们就会在 A 上 4 个位置进行修改，每次修改会涉及 B 上 4 个位置的差分修改
阅读全文
摘要：题目 点这里看题目。 分析 可以发现，符合条件的分数约分后，其分母必须为$2m5k$。因此，原分数一定可以表示为： \(\frac{XY}{2^m5^kX}\) 其中$(10,X)=1, XY\le n, 2m5kX\le n$。 可以发现，这样枚举可以保证分母不重复，因而保证枚举出的分数不重复。
阅读全文
摘要：题目 "点这里" 看题目。 "备用网址" 。 分析 考虑容斥地计算合法路径。即用总路径的积除以不合法路径的积。 分别考虑每条边对总路径的贡献。如果一条边左连通块大小$a$，右连通块大小$b$，权为$w$，则它的贡献为$w^{ab}$。 接着考虑不合法的路径。我们用$(a,b)$表示一条路径（路径有$
阅读全文