随笔分类 - 数学-组合-计数相关
摘要：题目 点这里看题目。 分析 非常巧妙的一道题目。 首先，我们可以思考如果没有 $a_{R,C}=V$ 的限制，问题应该如何求解。一种巧妙的思考方式是，我们可以对于 $i\in [1,K)$ 勾勒出 $\le i$ 的元素和 $>i$ 的元素之间的分界线。这样的话，如果我们从 0 开始给行列的
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 对答案变形： \[ \sum_{e\in P}c_{e_u}+c_{e_v}=2\sum_{w\in P,w\not=u,w\not= v}c_w+c_u+c_v \] 因此我们需要关心的是最终路径上非 \(u\) 且非 \(v\) 的点的点权和。 假设 \(u<v\)，
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 尝试构建一个分层图来描述机器人的行动。抛开初始点不谈，我们可以构造出一个 \(n+1\) 层，每层有若干个点的图，用 \((i,j)\) 表示第 \(i\) 层的第 \(j\) 个点。那么机器人的静止可以用有向边 \((i,j)\rightarrow (i+1,j)\)
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 显然可以构建出二分图的模型：将菜田放在左部，将订单放在右部，那么成为 Cabbage Master 的条件就是存在一个右部点被覆盖完的完美匹配。 那么很容易想到使用 Hall 定理。我们可以枚举右部的一个点集，并且取出右部中每个点的邻接点的并集，检查邻接点的总量是否足够。
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摘要：题目 一张圆形餐桌有 \(2n\) 个座位，现在有 \(n\) 对夫妻入座，要求男女隔位就坐，且一对夫妻不能相邻； 如果某种入座方案可以通过旋转得到另一种方案，则它们是本质相同的。求本质不同方案数。 数据范围：对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1\le n\le 10^5\)，答案对 \(
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 手玩容易发现 good graph 的第二条要求等价于 \(G'\) 是二分图。 说明： 设 \(x_u\) 表示某种方案中 \(u\) 是否被操作。 那么有 \(|E'|\) 条方程。对于 \((u,v)\in E'\)，方程的形式为 \(x_u\oplus x_v=1
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 一个简单的初始想法是：计算所有最终不是强连通的方案，然后再用总方案减去。 那么非强连通的方案经过缩点后，必然会变成 DAG 的形状。我们可以枚举所有 DAG 的形态，计算方案数： 每个强连通块的方案数：子问题，递归即可； 外部 DAG 的数量； 考虑求解 DAG 的数量。
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摘要：题目 点这里看题目。 极度简洁版本： 给定长度为 \(n\) 的置换 \(A\)，在对称群 \(S_n\) 中求 \(P^k=A\) 的解的个数。 数据范围：对于 \(100\%\) 的数据，有 \(1\le n\le 10^5,0\le k\le 10^6\)； 分析 绝世好阴间题。 首先，通过阅
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 初看似乎只能想到一个暴躁的 DP： \(f_{i,j}\)：前 \(i\) 个数，最后一个数是 \(j\) 的序列方案数。 ...... 嗯，显然会 TLE。 不过，由于总共的区间数很少，所以由区间的端点组合的区间会很少。我们可以从这个方向入手压缩状态。 考虑将原先的闭区
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摘要：大概是组合计数问题的基础，因此稍微写一下。 或者说，尝试复习，发现自己都不会了，所以应该写一下。 约定 这一类问题都可以在问题确定是，用两个参数 \(n,r\) 来描述。其中 \(n\) 表示球数， \(r\) 表示盒数。 为了方便描述，以下用一串二进制码表示问题的状态。例如 0101 ： 第一位表
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 这......看到 \(m\) 这么小，然后看到条件这么奇葩，显然是容斥计算。 但是先不慌，我们先考虑在没有任何限制的时候该怎么计算。 考虑枚举选的人数 \(s\) ，然后找出哪些佣兵在选的人数为 \(s\) 的时候可以被选，设为 \(a_s\) 。那么总的方案数就是：
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摘要：题目 题目描述 对于给定参数 \(n, m, k\) ，合法的正整数序列 \(a,b\) 分别满足： \(a\) 和 \(b\) 的长度都是 \(k\)； \(\sum_{i=1}^k a_i=n\) 且 \(\sum_{i=1}^k b_i=m\)； 现在对于合法的 \(a\) 和 \(b\)，定
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先我们对边进行定向：从 \(d\) 小的指向 \(d\) 大的。于是我们就一定会得到一个 DAG（参考题目条件）。 问题就相当于是求出这个 DAG 的拓扑序的方案数。 众所周知，这个问题目前还没有多项式算法，所以我们就可以弃题了 且慢，我们的图原先是一个仙人掌。仙人掌就
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 显然可以数位 DP 。 当 \(R\) 的位数比较小的时候，我们可以暴力搜索出所有数字的出现情况，然后进行 DP 。 但是当 \(R\) 很长的时候，状态的范围就会非非非常大，无法 DP 。 但是注意到另一个事实是：对于一个确定的数，我们并不需要知道它长什么样子，而只需要
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 题目明显是要求我们求方案数。 显然这道题没有办法直接做。 考虑转化一下题目条件。可以发现我们应该让 \(A\) 中多余的 1 换到 \(A\) 中缺少 1 的位置去。为了使描述更加清晰，我们这样定义： 公共点（\(P\)）：满足 \(A_i=1\land B_i=1\)
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摘要：题目 点这里看题目 分析 关于组合数，这里有一个基本等式： \(\binom{n}{k}\times k=\binom{n-1}{k-1}\times n\) 尝试推广一下： \[ \begin{aligned} k^2\times\binom nk&=nk\times \binom{n-1}{k-
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摘要：题目 点这里看题目。 分析 首先不难想到可以枚举递增的序列，最后在答案里面乘上$n!$，于是有$O(nk)$的暴力 DP 一枚： $f(i,j)$表示长度为$i$、最大值$\le j$的序列的贡献和。 转移显然： \(f(i,j)=j\times f(i-1,j-1)+f(i,j-1)\) 那么可以
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